小结优质课一等奖教案

第三章 小结与复习(学案)

【知识归类】

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba. (2)传递性：ab,bcac. (3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd. (4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc. ab0,cd0acbd. (5)倒数法则：ab,ab011. ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1). (7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1). 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法

3、应用不等式性质证明. （二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法. 一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的

1

图象

一元二次方程

ax2bxc0有两相异实根

有两相等实根

无实根

a0的根

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2ab(a0)的解集xxx1或xx2

xx

2aax2bxc0 R

ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2





（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组

成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）. 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点x0,y0，从Ax0By0C的正负即可判断AxByC＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）. 3、线性规划的有关概念

①线性约束条件：

在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划

2

问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解. ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”. 2（四）基本不等式ab【题型归类】

题型一：用不等式表示不等关系

例1 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式.

变式练习：咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.

题型二：比较大小

例2 (1)（3＋2） ６＋26；

2（2）（3－2）2

（6－1）2；

（3）1

521. 6522变式练习：（1）当a＞b＞0时，log1a

log1b ; (2) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) ; 4222(3)(x1) xx1.

3

题型三：利用不等式的性质求取值范围

例3 如果30x42,16y24,则

(1) xy的取值范围是 , (2) x2y的取值范围是 , (3) xy的取值范围是 , (4)

x的取值范围是 . y变式练习：已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围.

题型四：解一元二次不等式

例4 解不等式：（1）2x27x40；（2）x28x30.

题型五：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

3xy60例5

设x，y满足约束条件xy20

，

x0,y0w.w.w..s.5.u.c.o.m 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则( A )

23的最小值为(

).

ab25811

( B )

( C )

( D )

4 6332xy300x2y250变式练习：

已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的x0y0整点的坐标，及相应的z的最大值.

4

题型六：利用基本不等式证明不等式

例6 求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2.

变式练习：已知x2a2b2,y2c2d2，且所有字母均为正，求证：xyacbd.

题型七：利用基本不等式求最值

例7若x>0,y>0,且

变式练习：

求f(x)4x281,求xy的最小值. xy9(x>5)的最小值. x5

【思想方法】

1.数学思想：本部分用到的数学思想有：数形结合思想，转化与划归思想，分类讨论思想，函数与方程思想.

2.数学方法:本部分用到的数学方法有：比较法，图象法，转化法，平移法，放缩法等.

1．ABC的三边分别是a、b、c（均为正数），根据三角形边的性质能得到不等关系的个数为（

）. （

A ）

4

( B )

5

（

C ）

6

（

D ）

7 2.已知ab0，那么下列不等式成立的是（

）. （

A ）11aba

( B ) 01

（

C ）abb2

（

D ）

abbab3.函数yx2x12的定义域是

.

4. x0,y0,xy4所围成的平面区域的面积是

. 5.设x,y为正数，则xy14的最小值为（

）. xy（

A ）

6

( B )

9

（

C ）

12

（

D ）

15

5

6. （2009湖南卷文）若x0，则x2的最小值为

. xab7. （2009天津卷理）设a0,b0.若3是3与3的等比中项，则为（

）. 11的最小值ab（

A ）

8

（

B ）

4

（

C ）1

（

D ）8. （2009重庆卷文）已知a0,b0，则( A )

2

( B )

22

1

4112ab的最小值是（

）. ab

( C )

4

( D )

5

9.已知a,b是正实数，试比较211ab与ab的大小. 2

10.关于x的不等式axbxc0的解集为xx或x0，求不等式axbxc0的解集. x04

11.

（2009安徽卷理）若不等式组x3y4所表示的平面区域被直线ykx分33xy42为面积相等的两部分，则k的值是（

）.（A）7343

（B）

（C）

（D）

3734212. （2009湖北卷文） 围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元). （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

6

第三章 小结与复习(教案)

【知识归类】

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba. (2)传递性：ab,bcac. (3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd. (4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc. ab0,cd0acbd. (5)倒数法则：ab,ab011. ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1). (7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1). 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法

3、应用不等式性质证明. （二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法. 一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

0

0

0

7

二次函数

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

ax2bxc0有两相异实根

有两相等实根

无实根

a0的根

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2ab(a0)的解集xxx1或xx2

xx

2aax2bxc0 R

ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx

2 



（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）. 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点x0,y0，从Ax0By0C的正负即可判断AxByC＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）. 3、线性规划的有关概念

①线性约束条件：

在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

8

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解. ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”. 2（四）基本不等式ab【题型归类】

题型一：用不等式表示不等关系

例1 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式. 【审题要津】根据买软件数和磁盘数的资金和不超过500元,同时注意题目要求进行列示.

解：设软件数为x，磁盘合数为y，依据题意可得：

60x70y500,*x3且x，

y2且y*.【方法总结】实际问题应有实际意义. 变式练习：咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式. 解：设配制甲种饮料xg，配制乙种饮料yg. 9x4y3600,4x5y2000,则3x5y3000,

x0,y0.题型二：比较大小

例2 (1)（3＋2） ６＋26；

2（2）（3－2）2

（6－1）2；

9

（3）1

521. 652【审题要津】(1)、（2）平方后直接作差；（3）需要分母有理化后作差. 解：（1）（2）32232612<0.32<61.

26261<0.232<626.

22（3）115265526526<0.11<.

5265【方法总结】比较两个数（或代数式）的大小可用作差法，含有无理数或因式的可采用先平方后在作差，分母含有根式的可先进行分母有理化.

变式练习：（1）当a＞b＞0时，log1a

<

log1b ; 22(2) (a+3)(a-5) < (a+2)(a-4) ; 42(3)(x21)2

≥ xx1. 题型三：利用不等式的性质求取值范围

例3 如果30x42,16y24,则

(1) xy的取值范围是46,66, (2) x2y的取值范围是18,10, (3) xy的取值范围是480,1008, (4) x1521的取值范围是, . y128【审题要津】（1）用同向不等式相加；（2）先求出-2y的范围，再用同向不等式相加；

（3）用可乘积性；（4）先求1的范围再用可乘积性. y 解：略. 【方法总结】1.同向不等式不能作差；2.同向不等式不能作商.

变式练习：已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围. 解：设3a2b=x(ab)+yab=xyaxyb. 1x,xy3,23a2b1ab5ab解得：. xy2.522y.233a2b10.

题型四：解一元二次不等式

22例4 解不等式：（1）2x7x40；（2）x8x30.

10

【审题要津】对于不等式（1），可先求出一元二次方程2x27x40的判别式，分析方程根的情况，然后结合二次函数fx2x27x4的图象可求得不等式的解集. 对于（2），可先把二次项系数变为正数，然后同（1）解题过程. 解：（1）令2x27x40得72424170,

方程有两根x1717717,x2.

44717717∴2x7x40的解集为xx或x. 4422（2）由x8x30得x8x30，以下同（1），不等式的解集为2x413x413. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤是：（1）将不等式变形化为一般形式；（2）计算判别式；（3）根据判别式确定二次方程解得个数；（4）根据一元二次不等式解的结构，求出其解.

题型五：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

x-y+2=0

y

3xy60例5

设x，y满足约束条件xy20

，

x0,y0w.w.w..s.5.u.c.o.m z=ax+by

2

-2

O

2

x

若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，

23则的最小值为(

).

ab25811A.

B.

C.

D. 4 6333x-y-6=0

【审题要津】画出可行域，找出最优解，带入后得到a、b的关系，然后适当变形求最小值.

解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23232a3b13ba1325=()()2,故选A. abab66ab66答案:A 【方法总结】根据约束条件正确作出可行域，明确最优解是解决线性规划问题的关键.

11

2xy300x2y250变式练习：

已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的x0y0整点的坐标，及相应的z的最大值. 解：由可行域和目标函数知：当取整点0,125时，z有最大值，最大值为112500. 题型六：利用基本不等式证明不等式

例6 求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2. 【审题要津】根据题目特点，可采用比较法作差证明.

证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2=acadbcbdacbd

-2abcd=adbc0.(a2b2)(c2d2)(acbd)2. 【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论. 变式练习：已知x2a2b2,y2c2d2，且所有字母均为正，求证：xyacbd.

证明：∵(a2b2)(c2d2)(acbd)2=acadbcbdacbd

22222-2abcd=adbc0.(ab)(cd)(acbd). 22222222222222222222222222∴a2b2c2d2acbd，即：xyacbd.

题型七：利用基本不等式求最值

例7若x>0,y>0,且281,求xy的最小值. xy281的左边用基本不等式后能够出现xy项，xy【审题要津】

因为x>0,y>0，且等式所以可直接把已知等式运用基本不等式. 解：由1282882xy8,xy22.所以xy的最小值为22. xyxyxy【方法总结】运用基本不等式求最值掌握的原则：一正、二定、三相等，有时需要适当的变形.

变式练习：

求f(x)4x9(x>5)的最小值. x5

12

解：f(x)4x且仅当x599=4x5202x5x5x592026，当x599,即x8时等号成立，所以f(x)4x(x>5)的最小值为26. x5x5【思想方法】

1.数学思想：本部分用到的数学思想有：数形结合思想，转化与划归思想，分类讨论思想，函数与方程思想.

2.数学方法:本部分用到的数学方法有：比较法，图象法，转化法，平移法，放缩法等.

1．ABC的三边分别是a、b、c（均为正数），根据三角形边的性质能得到不等关系的个数为（

C ）. （

A ）

4

( B )

5

（

C ）

6

（

D ）

7 2.已知ab0，那么下列不等式成立的是（

D ）. （

A ）11aba

( B ) 01

（

C ）abb2

（

D ）

abbab3.函数yx2x12的定义域是xx4或x3.

4. x0,y0,xy4所围成的平面区域的面积是

8

. 5.设x,y为正数，则xy14的最小值为（

B ）. xy（

A ）

6

( B )

9

（

C ）

12

（

D ）

15 6. （2009湖南卷文）若x0，则x解:

2的最小值为22. x22x0x22，当且仅当xx2时取等号. xxab7. （2009天津卷理）设a0,b0.若3是3与3的等比中项，则为（

C ）. 11的最小值ab1

4（

A ）

8

（

B ）

4

（

C ）1

（

D ）ab解：因为333，所以ab1，

ba1111baba即(ab)()2224，当且仅当ababababab1ab时“=”成立，故选择C 2118. （2009重庆卷文）已知a0,b0，则2ab的最小值是（

C ）. ab

13

( A )

2

( B )

22

( C )

4

( D )

5 解：因为111111当且仅当，且2ab22ab2(ab)4abababab

1ab，即ab时，取“=”号.ab9.已知a,b是正实数，试比较w.w.w..s.5.u.c.o.m 211ab与ab的大小. 解：11122a0,b0,2,ab.

11abab12abab210.关于x的不等式axbxc0的解集为xx或x0，求不等式axbxc0的解集. 解：由已知得x1,x2为方程axbxc0的根且a0. 22bc,,ba,ca. aa22代入不等式axbxc0，得axaxa0，

x2x0,xx0，又0,0，

x.所以不等式ax2bxc0的解集为xx. x04

11.（2009安徽卷理）若不等式组x3y4所表示的平面区域被直线ykx分33xy4为面积相等的两部分，则k的值是( A ).（A）7343

（B）

（C）

（D）

3734解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由B y x3y44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

33xy4C O y=kx+

3D A x 4144∴S△ABC=(4)1，设ykx与3xy4的

2331215交点为D，则由SBCDSABC知xD，∴yD

2322

14

∴5147k,k选A.

223312. （2009湖北卷文） 围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利2用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元). （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：（1）设矩形的另一边长为a

m,则y2-45 x-180(x-2)+180·2 a=225 x+360 a-360 3603602360(x0)由已知x

a=360,得a=,所以y=225 x+xx(II)w.w.w..s.5.u.c.o.m

3602x0,225x2225360210800

x36023602y225x36010440.当且仅当225x=时，等号成立. xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

w.w.w.s.5.u.c.o.m

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