小结名师教学设计2

不等式恒成立问题的常见解法

高一必修5（人教版）

铜梁中学高2020级数学组 付强

一．教材分析

由任意性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以选择题、填空题或解答题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系。

二．教学目标

1.理解、掌握多种解决不等式恒成立问题方法。

2.渗透化归思想、数形结合思想。培养学生分类讨论的能力和数学核心素养。

三．教学重难点

重点 等价转化恒成立问题。

难点 化归思想、分类讨论思想的应用

教学过程

探究一 当

时，不等式

恒成立，求实数

的取值范围。

学生讨论 教师点评总结

（一）分离变量法：将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

若

恒成立，则

若

恒成立，则

解法一：由

且

得

在

上恒成立。

易知

在

递减

则

设

故

（

，

）

练习一：不等式

，对

，

)恒成立，求

的范围。

学生自主完成

解：原不等式可化为

由

，

得

恒成立,故

）

由基本不等式知

则

（二）函数性质法：构造函数，利用构造的函数性质（如一次函数的保号性、二次函数根的分布、二次函数的最值等）求解。

探究一 当

时，不等式

恒成立，求实数

的取值范围。

解法二：设

且

则

在

时恒成立。

解得

练习一：不等式

，对

，

)恒成立，求

的范围。

另解：设

则

（

）

对

，

)恒成立。

(1)

即

时满足题意；

（2）

得

综上

探究二：当

时，不等式

恒成立，求实数

的取值范围。

（三）变更主元法：不等式恒成立是多元参数问题,若按常规思路确定主元,会导致问题复杂化或者无法下手,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,选择某参变量为主元,反客为主,往往可使问题化难为易,迅速获解。

解：设

且

则由一次函数保号性得

解得

练习2：对任意的

， ，不等式

恒成立，求

的取值范围。

解：依题意对任意的

， ，(

)

+

恒成立

设f(

)=(

)

+

，

，

所以只需

解得

或

故

）

，

探究一.当

时，不等式

恒成立，求实数

的取值范围

（四）数形结合法：数形结合法解决不等式恒成立问题是先将不等式进行恰当变形，使两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

恒成立

的图像恒在

图像上方

恒成立

的图像恒在

图像下方

解法三：由

且

得

恒成立。

设

设

则

在 上恒成立。即须 在

的图像全部在

图像的下方。

分别在直角坐标系中做出 和

在

的图像，观察图像可得

图像经过

（8，68）时是临界条件。

则

即

练习3：当

时，不等式

恒成立，求

的取值范围。

设

,

要使得

时

恒成立，显然

当且仅当

时，

的函数值大于

的函数值。

且

解得

.

放手一搏

(2006,上海卷，理，12)

三个同学对问题“关于

的不等式

在 上恒成立，求实数

的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。

乙说：“把不等式变形为左边含变量

的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。

丙说：“把不等式两边看成关于

的函数，做出函数的图像”。

参考上述解题思路，你认为他们所讨论问题的正确结论，即

的取值范围是____________

【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.

设

,

甲的解题思路是对于

,

,若

恒成立，求

的取值范围。与题目

,

恒成立，求

的取值范围的要求不一致。因而，甲的解题思路不能解决本题。

按照丙的解题思路需作出函数

，

的图像，然而，函数 的图像并不容易作出。

由乙的解题思路，本题化为由

在

上恒成立，等价于

时

成立。

在

时，有最小值 ，于是，

。

课堂小结：

解决恒成立问题常用方法有①分离变量法；②函数性质法；③变更主元法；

④数形结合法. 其本质就是转换划归.

同一个题目处理方法不一定唯一，应有所比较择优而解。

作业：参照导学案。