探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大PPT专用课堂实录内容

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2．3．2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差

。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美

,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教具准备：多媒体、实物投影仪

。

教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差

。

授课类型：新授课 课时安排：2课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. www.canpoint.cn

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回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是(x1x)2，(x2x)2，…，(xnx)，那么S2＋(x2x)2＋…＋(xnx)]

叫做这组数据的方差 教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.

分布列: ξ

221[(x1x)2nx1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

P 6. 分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

k7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记Cnpkqnk＝b(k；n，p)．

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1 11n1Cnpq

ξ0 …

kkk nk…

n 00nP Cnpq

…C

npqnn0Cnpq

…

8.几何分布： g(k，p)= qk1p，其中k＝0,1,2,…，

q1p．

ξP 1 2 3 …k ……p

pq

q2p

…qk1p

9.数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的数学期望，简称期望．

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…pn，则有p1p2…pn均数、均值

12. 期望的一个性质: E(ab)aEb

13.若ξB（n,p），则Eξ=np 11，E(x1x2…xn)，所以ξ的数学期望又称为平nn二、讲解新课：

1.

方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么, D＝(x1E)2p1＋(x2E)2p2＋…＋(xnE)2pn＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．

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【来.源：全,品…中&高*考*网】2. 标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．3.方差的性质：（1）D(ab)a2D；（2）DE2(E)2；

（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ

P 从而

1 2 3 4 5 6 1

61

61

61

61

61

6111111EX1234563.5; 6666661111DX(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)26666

11(53.5)2(63.5)22.9266XDX1.71.

例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

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1800【来.甲单位不同职位月工资X1/元

1200 1400 1600 源：全,品…中&高*考*网】

获得相应职位的概率P1

乙单位不同职位月工资X2/元

获得相应职位的概率P2

0.4 0.3 0.2 0.1 1000 1400 1800 2000 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1

= 1400 ,

DX1 = (1200-1400) 2

×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3

+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;

EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l

= 160000 .

因为EX1 =EX2, DX1

例3．设随机变量ξ的分布列为

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1 2 …

…

n ξ

P 求Dξ

1

n1

n1

nn2-1n1 解：（略）E,

D

122例4．已知离散型随机变量1的概率分布为

1

P 1 2 3 4 5 6 7 1

71

71

71

71

71

71

7离散型随机变量2的概率分布为

2

P 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 1

71

71

71

71

71

71

7求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：E11111274；

777111D1(14)2(24)2(74)24；1D12

777111E23.73.84.34；

777D2=0.04, 2D20.2. 点评：本题中的1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散，2的取值较为集中．E1E24，D14，D20.04，方差比较清楚地指出了2比1取值更集中．

1＝2，2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

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例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：E180.290.6100.29

D1(89)20.2(99)20.6+（10-9）20.20.4；

同理有E29,D20.8

由上可知，E1E2，D1D2所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．E1E2=9，这时就通过D1=0.4和D2=0.8来比较1和2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A机床B机床

次品数ξ1

概率P 0 1 2 3 0.04

次品数ξ1

概率P 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好

解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差

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2 Dξ1=（0-0.44）×0.7+（1-0.44）×0.2+（2-0.44）×0.06+（3-0.44）×0.04=0.6064, 2Dξ2=（0-0.44）×0.8+（1-0.44）×0.06+（2-0.44）×0.04+（3-0.44）×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：

2222 1.已知~Bn,p,E8,D1.6，则n,p的值分别是（

）

A．100和0.08；

B．20和0.4；

C．10和0.2；

D．10和0.8

答案：1.D

2.

一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（ξ=0）=93

124当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（ξ=1）=399

121144当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

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P（ξ=2）=3299

121110220当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）32191

121110922039913所以，Eξ=0123 44422022010=3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ（200，B1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

1p(1p)则 Dξ=（0-p）×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p) 

242 22www.canpoint.cn

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5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

ξA

P 110 0.1 B120 0.2 125 0.4 130 0.1 135

ξB

0.2

P 100 115 125 130 145 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA、ξ分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析：

两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξA与ξB的期望值，因为

EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125. 所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

DξA=(110-125)×0.1+(120-125)

×0.2+(130-125)×0.1+(135-125)×0.2=50，

DξB=(100-125)×0.1+(110-125)

×0.2+(130-125)×0.1+(145-125)×0.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

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2 2 2 22 2 2 2

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解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得ξ的分布列为

ξ

P 0 5 25 100

【来.源：全,品…中&高*考*网】39111

40050500391111E05251000.2

400505002000 答：一张彩票的合理价格是0．2元．

1

2000五、小结

：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出D、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量1和2，在E1和E2相等或很接近时，比较D1和

D2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业：

P69练习1,2,3

P69 A组4

B组1,2 1.设～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p 解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np（1－p） n18np12∴ ∴2

pnp(1p)432.已知随机变量服从二项分布即~B(6、解：p(=2)=c6(211)求b (2；6，) 331224)()

333.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和 （注得分越大，水平越高）

的分布列如下：www.canpoint.cn

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

p

1 a 2 0.1 3 0.6 

p 1 0.3 2 b 3 0.3

试分析甲、乙技术状况

解：由0.1+0.6+a+1a=0.3 0.3+0.3+b=1a=0.4 ∴E=2.3 , E=2.0 D=0.81 , D=0.6

七、板书设计（略）

八、教学反思：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；

④根据方差、标准差的定义求出D、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量1和2，在E1和E2相等或很接近时，比较D1和D2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

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