1.3 二项式定理（通用）教学实录及点评

二项式定理教学设计

一、教材地位：

二项式定理是在初中学习的多项式的基础上研究一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式。由于二项式系数是一些特殊的组合数，因此学完组合后讲二项式定理能加深对组合数的理解。二项式定理与后边要学习的概率中的二项分布有其内在的联系，是准备知识，因此，二项式定理在本章的学习中起着承上启下的作用。

一、

教学（学习）目标：

1，

知识目标：

正确理解掌握二项式定理及其通项公式。

2，

能力方法目标：

（1）

培养学生观察、分析、归纳、发现事物内在规律的能力。

（2）

培养学生严格的逻辑思维能力及创造性思维能力。

3，

德育目标：

（1）

通过对问题的研究，培养学生用辩证唯物主义的观点处理问题。

（2）

培养学生热爱学习，善于观察，勇于探索科学规律的精神。

4，

情感目标：

通过引例激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，使学生能积极参与到探索未知事物的过程中去，从而主动获取知识。

二、

教学重点、难点：

重点：正确理解和掌握二项式定理。

难点：二项式定理的推导，定理大致按“设想→突破→建构→论证”四个层次得到的。（定理的证明本课不做要求）

突破难点的关键：运用类比、归纳的思想，摸索出规律，从而使问题得到解决。

一、导入：

1、初中学***方公式和立方公式，上一节又学习了组合数公式，大家思考一下：把完全平方公式和立方公式的系数用组合数表示出来。

(a+b)=a+2ab+b=C2a+C2ab+C2b

(a+b)=a+3ab+3ab+b=C3a+C3ab+C3ab+C3b3322303122233 22202122设计意图：对比这两个展开式的系数，使学生产生联想，去探讨(a+b)的情况，为本课的学习做n

好知识铺垫。

二、探究：（探索规律，得出结论）

1、

提出问题：

(a+b)=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？

思考：在上面的展开式中，ab是怎样来的？有多少个？

学生讨论后发现：ab=abbb是从上面四个括号中各选一个而来的。三个b从四个括号中给出，四个括号中选三个b，有C4种选法，由于选出三个b后，剩下的一个括号自然选出a，因此，a与b是同时得到的，所以在计算ab数目时，只需考虑b的数目就可以了，而不必考虑a的数目，所以ab的个数是C4，即ab的系数是C4。

再引导学生按刚才的道理分别写出a, ab, ab, ab, b的系数。

设计意图：引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想，组合的符号，经过努力，学生们可以找到规律，从中体会到探索的乐趣。

2、

归纳结论：

（1）由上面的探索得到：(a+b)=C4a+C4ab+C4ab+C4ab+C4b（2）归纳：一般对于任意的正整数n,有：

(a+b)=Cna+Cnab+…+Cnab…+Cnb (n∈N) 并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理。

右边的多项式叫(a+b)的二项展开式。

各项系数Cn（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数。

②式子中的Cnab叫做二项展开式的通项。记做：Tr+1=Cnab。

设计意图：上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法

叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证

明了。让学生知道，不完全归纳法容易发现规律，但不可靠，需

证明。

3、

特例：

（1）

在(a+b)中用-b代b得(a-b)的展开式：

(a-b)=Cna-Cnab+…+Cna（-b）…+Cn（-b） (n∈N) 这里：Tr+1=（-1）Cn a b

设计意图：使学生明确通项是针对标准式(a+b)而言的，如果换成了(a-b)，则需注意符号，从nnr rn-rrn0n1n-1rn-rrnn*nnrn-rrrn-rrrnn0n1n-1rn-rrnn*404132223344 43223433333333334

而加深了对定理的理解。

（2）

在二项式定理中，令a=1,b=x得公式：

（1+x）=Cn+Cnx+…+Cnx+…+Cnxn01rrnn 设计意图：使学生明确，“取特例”是研究数学问题的一种方法。可结合具体例子让学生体会。

三、应用：（研究定理的应用，运用所学知识解题）

例1、展开（2x1x）（类型：当二项式较复杂时，先将式子化简再展开）

6设计意图：通过做例题和变式训练，使学生看到定理的应用，并加深对定理的理解。通过归纳类型，完善其知识结构。

四、总结：

强调不仅要记住定理的结论，同时还应掌握数学研究问题的思想与方法和数学思想，由特殊到一般及数学归纳法。

设计意图：掌握思想方法，完善知识结构。