小结教学设计第二课时

不等式知识点总结

教学目标

1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上；

2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想；

3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

教学重点：

建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程

教学难点：

正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

1、不等式的基本性质

①（对称性）abba

②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd

（异向可减性）ab,cdacbd

④（可积性）ab,c0acbc ab,c0acbc

⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd （异向正数可除性）ab0,0cdabcd

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1) ⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)

⑧（倒数法则）ab02、几个重要不等式

1111;ab0

abab①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.

变形公式：a2b2ab.

2②（基本不等式） abab

a，bR,（当且仅当ab时取到等号）. 2

ab用基本不等式求最值时（积定和最小，变形公式： ab2ab ab.22和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）abc3abc(a、b、cR)（当且仅3当abc时取到等号）. ④a2b2c2abbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）. ⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）. baba⑥若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则2（当仅当ababa=b时取等号）

bbmana1其中(ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变⑦aambnb大，大于1同加则变小. 22⑧当a0时，xax2a2xa或xa; xaxaaxa.

⑨绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式①平均不等式：2aba2b2aba1b122a，bR,（当且仅当ab时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

22(ab)2abab22.

变形公式：ab;

ab2222②幂平均不等式：a12a22...an2③二维形式的三角不等式：1(a1a2...an)2.

nx12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn（.反序和乱序和顺序和）

当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称).22f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

131①舍去或加上一些项，如(a)2(a)2;

242②将分子或分母放大（缩小），如

11

,k2k(k1)11,2kk(k1)(22k212),kkkkk112(kN*,k1)kkk1等. 5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)07、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 “或”（时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴f(x)0f(x)a(a0)⑵2f(x)af(x)0f(x)a(a0)

2f(x)a⑶f(x)0f(x)0f(x)0⑷f(x)g(x)

f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0

f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：

⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

f(x)0⑴当a1时, logf(x)logg(x)⑵当0a1时, g(x)0aaf(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化.

a(a0)11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：a.⑵平方法：a(a0)f(x)g(x)f2(x)g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);

②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法

解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题

⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

a0 ①当a0时

b0,c0;②当a0时0.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

a0

①当a0时b0,c0;②当a0时0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.