2.2.2 间接证明PPT专用教学设计内容

学习目标

1.了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.3.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并能利用分析法和综合法证明简单的问题.4.了解反证法的思想，并能灵活应用．

知识回顾

知识点一

合情推理

1．归纳推理

(1)定义：从个别事实中推演出________的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是：____________→______________→__________________. (2)特点：由________到整体、由________到一般的推理．

2．类比推理

(1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理．类比推理的思维过程为：______________→______________→__________________. (2)特点：类比推理是由________到________的推理．

3．合情推理

合情推理是根据________________、________________、____________________，以及个人的________和直觉等推测某些结果的推理过程．__________和____________都是数学活动中常用的合情推理．

知识点二

演绎推理

1．演绎推理

由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理．简言之，演绎推理是由________到________的推理．

2．“三段论”是演绎推理的一般模式

(1)大前提——已知的____________；

(2)小前提——所研究的____________；

(3)结论——根据一般原理，对____________做出的判断．

知识点三

直接证明

1．综合法

(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．

(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论

(3)思维过程：由因导果．

2．分析法

(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法．

(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件

(3)思维过程：执果索因．

知识点四

间接证明

用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．

题型探究

类型一

归纳思想

ann例1

已知数列{an}满足a1＝1，＝(n＝1,2，3，…)．

an＋1n＋1(1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通项公式an；

(2)根据(1)中的猜想，有下面的数阵：

S1＝a1，

S2＝a2＋a3，

S3＝a4＋a5＋a6，

S4＝a7＋a8＋a9＋a10，

S5＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15. 试求S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，并猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值．

反思与感悟

归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．具有共同特征的归纳推理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．

跟踪训练1

设{an}是集合{2t＋2s|0≤s≤t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，且

a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…. 将数列{an}中的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：

(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；

(2)求出a100.

类型二

类比思想

例2

定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和．已知数列{an}为等和数列，且a1＝2，公和为5.那么a18的值为______，这个数列前n项和Sn的计算公式为_______________________．

反思与感悟

事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质．

跟踪训练2

已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形a1a2a3a4内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h112342S＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，kS1S2S3S4S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，1234则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝________. 类型三

正难则反思想

例3

已知△ABC中，∠C是直角，求证：∠B一定是锐角．

反思与感悟

反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题．

111跟踪训练3

证明：无论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．

xyx＋y

类型四

综合法与分析法

例4

已知x，y>0，x＋y＝1，求证：log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2.

反思与感悟

证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程．

sin2α＋βsinβ跟踪训练4

求证：－2cos(α＋β)＝. sinαsinα

课堂检测

1．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数

{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，则每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________．

2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccosB＋bcosC；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P—ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P—AB—C，P—BC—A，P—AC—B的度数分别是α，β，γ，则S＝______________________. 3．将下列给出的反证法证明过程填写完整．

已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且仅有一个根．

b证明

由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一个根x＝. a假设方程不止一个根，不妨设x1，x2是____________，即ax1＝b，ax2＝b，所以a(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以a＝0，这与________矛盾，故假设错误．

所以当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且仅有一个根．

4．若tan(α＋β)＝2tanα，求证：3sinβ＝sin(2α＋β)．

课堂总结

直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．