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基本不等式测试题

一、选择题

1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(

) A．y＝x＋1

B．

y＝cosx＋1xcosxπ0

C．y＝x2＋3

D．

y＝ex＋4x2＋2ex－2 2．已知正项等比数列{a14n}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则m＋n的最小值为(

) A.32

B.5

C.2536

D．不存在

[答案]

A 3．

“a＝1，均有x＋a4”是“对任意的正数xx≥1”的(

) A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[答案]

A 4．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

[答案]

A 5．若a>0，b>0，a，b的等差中项是1112，且α＝a＋a，β＝b＋b，则α＋β的最小值为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 [答案]

D 6．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为(

) A．8

B．16

C．32

D．64 [答案]

C ．已知Fx27y21、F2分别为双曲线a2b21（a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一2点，若PF1PF的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是(

) 2A．(1，＋∞)

B．(1,2] C．(1，3]

D．(1,3] [答案]

D 8．已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 [答案]

B 9．已知全集R，集合E＝{x|bb>0，则集合M等于(

) A．E∩F

B．E∪F

C．E∩(∁RF)

D．(∁RE)∩F

[答案]

C 10．如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则mn的最大值为(

) A.12

B．1

C．2

D．3

[答案]

B

二、填空题

11．已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．

[答案]

4 12．已知t>0，则函数y＝t24t1t的最小值为________．

[答案]

－2 13、已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8xyx的图象都过点A，且点A在直线m＋2n＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．

[答案]

4 14．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．

[答案]

112

15、设M是△ABC内一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝12，x，y14，则x＋y的最小值是________．

[答案]

18

三、解答题

16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．

(1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；

(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．

[解析]

(1)∵由条件知，sinβ＝22sinπ4－β，

整理得312sinβ－2cosβ＝0，

∵β为锐角，∴tanβ＝13. (2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，

∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，

∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α

＝tanα2tan2α＋1＝1122tanα＋1≤tanα22＝4. 当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号，

∴tanα＝222时，tanβ取得最大值4，

此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2. 17、设实数a使得方程x2+（a-1）x+1=0有两个实根x1，x2.

(1) 求a的取值范围；

(2) 当a取何值时，1x21. 1x2取得最小值，并求出这个最小值2解析：(1) a≤-1或a≥3

(2) a= -1或3，最小值为2.

18．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

[解析]

(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为32Q＋3＋xQ×150%Q×50%，

∴年销售收入为(32Q＋3×150%＋xQQ×50%)·Q ＝33)＋12(32Q＋2x，

∴年利润W＝312(32Q＋3)＋2x－(32Q＋3)－x

＝1＋3－x)＝－x2＋98x＋352(32Q＋(x≥0)．

(2)令x＋1＝t(t≥1)，则

W＝－－＋－＋352t＝50－t322＋t. ∵t≥1，∴t32322＋t≥2t2·t＝8，即W≤42，

当且仅当t＝322t，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．

19、(1)不等式(m2)x22(m2)x40对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。(2)若关于x的不等式ax26xa20的解集为{x|1xm},求a，m的值

20．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝→FP·FQ→. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求l1l2l＋l的最大值．

21[解析]

(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)，

∵QP→·QF→＝→FP·FQ→，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．

即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，

所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y. (2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a2＝4b①

圆M的半径为|MD|＝a2＋－. 圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2. 令y＝0，则(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，

整理得，x2－2ax＋4b－4＝0②

将①代入②得x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2，

不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)，

∴l1＝－＋4，l2＝＋＋4. ∴l1＋l2l12＋l222a2＋16l2l1＝l1l2＝a4＋64

＝2＋a4＋＝21＋16a264a4＋64③

当a≠0时，l1l2l2＋l1＝21＋161＋16a2＋64≤22×8

a2＝22. 当且仅当a＝±22时，等号成立．

当a＝0时，由③得，l1＋l2l2l1＝2. 故当a＝±22时，l1＋l2l2l1的最大值为22. 21、已知a,b,c0,abc1,证明：1111a3(bc)b3(ca)c3(ab)2(1a1b1c)

证：1abcbc1a3(bc)a3(bc)a2(bc)a211， 1bc 11a3(bc)14b1c1a211111114, ，（a,b,c0）同理得：bbcac 1b3(ca)14(1a1c)11b

，c3(ab)14(1a1b)1c

式两边相加，得1111111111a3(bc)b3(ca)c3(ab)2(abc)abc

1111111()

a3(bc)b3(ca)c3(ab)2abc所以原不等式成立，证毕。

注：“1111k11k2”的来由：不等式2当且仅当abc时取等号，得k。

1144aabc.

bc