复习参考题优秀获奖教案

二项式定理习题课

教学目标

知识与技能

1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．

4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．

过程与方法

1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．

2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．

3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．

情感、态度与价值观

1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．

2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．

3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．

重点难点

教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．

教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．

教学过程

复习巩顾

前面我们学习了二项式定理，请回顾：

1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右r边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中Cn(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．

2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________. (3)二项式系数的最大值________________________．

(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．

答案：

n1n－12n－22rn－rrn1．(a＋b)n＝C0b＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnna＋Cnanb(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、Crn、变量前的常数

rr－1r2．(1)Cmn＝Cn－mn

(2)Cn＋1＝Cn＋Cn

n(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Cn最大；当n是奇数时，中间的两项2n－1n＋1相等，且同时取得最大值，即Cn＝Cn最大

22012rn(4)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cnn＝2

赋值法

典型示例

类型一：二项展开式的有关概念

例1试求：

2(1)(x3－2)5的展开式中x5的系数；

x1(2)(2x2－)6的展开式中的常数项；

x3(3)在(3x＋2)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．

思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指

1试求：(1)(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；(2)(|x|＋－2)3的展开式中的常数项．

|x|解：(1)∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…，∴(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179. 116(2)∵(|x|＋－2)3＝(|x|－)，∴所求展开式中的常数项是－C36＝－20. |x||x|

类型二：二项展开式的有关应用——简单应用

例2求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数．

【巩固练习】

(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x3项的系数是(

) A．74

B．121 C．－74

D．－121

类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题

1例3证明：(1)2≤(1＋)n<3，其中n∈N*；

n(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n－1可被676整除．

思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．

11212证明：(1)(1＋)n＝1＋C1n·＋Cn()＋…≥2(当且仅当n＝1时取等号)．

nnn1当n＝1时，(1＋)n＝2<3显然成立；

nn(n－1)1n(n－1)(n－2)111121n1当n≥2时，(1＋)n＝C0＋C·＋C·＋…＋C·＝2＋＋…2n2＋nnnnnnnnn32！n3！n(n－1)…2·111nn－11nn－1n－21nn－121111＋＋＋…＋…<2＋＋＋…n＝2＋nnnn！2！nn3！nnnn！nn2！3！n！<2＋111111111＋＋…＋＝2＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝3－<3.综上所述：2≤(11×22×3223nn(n－1)n－1n1＋)n<3，其中n∈N*. n(2)当n＝0，n＝1时33n－26n－1＝0，显然33n－26n－1可被676整除．当n≥2时，33n－26n－1＝27n－26n－1＝(1＋26)n－26n－1＝1＋26n＋C2262＋…＋Cn26n－26n－1＝n·n·2n23n－2nCn·262＋C3263＋…＋CnCn)．综上所述：对任意非负整数n,33nn·n26＝676(Cn＋26Cn＋…＋26－26n－1可被676整除．

【巩固练习】

已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，

(1)试求f(x)中的x2的系数的最小值；

(2)对于使f(x)中的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；

(3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．

类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题

例4求(x－1)9的展开式中系数最大的项．

思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．

9－r5455解：Tr＋1＝(－1)rCr.∵C49x9＝C9＝126，而(－1)＝1，(－1)＝－1，∴T5＝126x是所求系数最大的项．

【巩固练习】

求(x＋142x)8展开式中系数最大的项．

Tk≥Tk－1，r－1－r＋1解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有又Tr＝C82，那么T≥T，kk＋1

有－2－k＋2k－1－k＋1≥Ck，C8282k－1－k＋1k－kC82≥C82，

即8！8！≥(k－1)！(9－k)！(k－2)！(10－k)！×2，8！8！×2≥(k－1)！(9－k)！k！(8－k)！，

∴219－k≥k.12≥，k－1k－2

57解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T3＝7x和第4项T4＝7x. 22

类型五：二项式系数之和、系数之和等问题

例5若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于__________；

思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．

解：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(3－2)4，由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.

【巩固练习】

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，

求(1)a0＋a1＋…＋a7的值；

(2)a0＋a2＋a4＋a6及a1＋a3＋a5＋a7的值；

(3)各项二项式系数和．

解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝－1. (2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2 187. 则a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094；a0＋a2＋a4＋a6＝1 093. 177(3)各项二项式系数和C07＋C7＋…＋C7＝2＝128.

【基础练习】

13nnn1．计算1－3Cn＋9C2n－27Cn＋…＋(－1)3Cn. 12．(x＋－2)3的展开式中，常数项是________．

x3．已知(3x－13x21)n，n∈N*的展开式中各项系数和为128，则展开式中3的系数是(

) xA．7

B．－7

C．21

D．－21 备课资料

二项式定理

同步练习

选择题

7781．已知Cn＋1－Cn＝Cn，那么n等于(

) A．14

B．12

C．13

D．15 12nn2．C0n＋3Cn＋9Cn…＋3Cn的值等于(

) 4n－14nA．4

B．3·4

C.－1

D .

33nn393．C111＋C11＋…＋C11的值为(

) A．2 048

B．1 024

C．1 023

D．512 4．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)……(nx＋1)展开式中x的一次项系数为(

) －12A．Cnn

B．Cn

C．C2n＋1

D．不能用组合数表示

5．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…a2nx2n，则a0＋a1＋a2＋…＋a2n等于

…(

) 3n－13n＋1A．2

B．3

C.

D.

222nnn1n216．若n是正奇数，则7n＋C1＋C2＋…Cnn7n7n7被9除的余数为(

) A．2

B．5

C．7

D．8 7．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x4的系数为(

) 454A．C511

B．C11

C．C10

D．C10

填空题

8．(a＋b)n展开式中第r项为__________．

9．11100－1的末位连续零的个数为__________ －－－