阅读与思考 九连环ppt配套的教案及板书设计

无为县第三中学电子备课教学设计

教学内容

教学活动 九连环

知识与技能：

1、了解游戏“解九连环”的基本规则；

2、会用归纳、类比等方法解决“解九连环”的计数问题；

3、在解决九连环游戏计数问题的过程中，掌握推导九连环数列通项公式的方法和技巧。

过程与方法：

教学目标

经历游戏“解九连环”计数问题的探讨，找到游戏“解九连环”的本质，即找到游戏隐藏的数列中的递推公式，进而学会用递推公式求通项公式的一些技巧。

情感、态度与价值观：

1、通过归纳九连环步骤数的递推公式，使学生感到成功通关的喜悦，调动学生探索数学本质的积极性；

2、通过游戏九连环的学习，让学生体会到“万物皆数”，学会用数学的眼光去观察世界，会用数学思维去发现问题，会用数学的知识解决问题。

教学重点

发现九连环数列的规律——递推公式

教学难点

探究并推导出九连环数列的通项公式。

教学准备

多媒体平台，学生准备九连环

课时安排

1课时

第一课时

课时目标

了解九连环的规则；会用归纳、类比等方法解决九连环计数问题；学会用数学的眼光观察世界，会用数学思维发现问题，会用数学知识解决问题。

一、课程引入

多媒体展出两幅图片（图片来自互联网）

教学过程

教师向学生介绍：左边的图片是《红楼梦》第七回，贾宝玉与林黛玉在玩九连环的游戏；右边的图片是法国油画《中国游戏》创作于19世纪中期。九连环是我国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性。九连环既能练脑又能练手，对于开发任的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处。同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少皆宜。

【设计意图】展示图片吸引学生注意力，从而引入游戏规则。

二、游戏规则

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多媒体展出九连环的图片（图片来自互联网）

教师向学生介绍九连环的结构以及游戏九连环的规则。

总结解九连环的基本原则：要想解下第n号环，就必须满足两个条件，第1,2号环除外（n>2)。一、第n-1号环要在架上；二、第n-1号环前面的所有环不在架上。

【设计意图】九连环，不少同学没有见识过，也不知道怎么玩。在这里教师帮助学生一起探讨九连环的玩法，以及游戏基本原则，是为后面探讨规律打下伏笔。

三、提出问题，探索研究

问题：同学们已经知道了解九连环游戏的规则，那么将九连环中九个环全部解下至少需要多少步？

学生活动：学生沉默，没人能回答。

教师继续提问：看来我们被这个问题难住了。在这个问题中未知量是什么？

生1：将九个环解下需要多少步骤？

师问：已知条件是什么？

生2：动手操作；生3：九连环；生4：解九连环的基本原则。

师问：很好。其实这个问题也很好解决，只要我们肯花时间去玩这个游戏，总能知道将九个环全部解下至少需要多少步，是不是？（学生笑了）

师：我看到很多学生笑了，笑的同学一定会认为”那样的话，这节课就玩游戏了。”如果玩游戏能把问题解决了，我觉得也是值得。科学是需要花时间刻苦钻研的。

师：同学们，我常常告诉你们，当你们不能解决所碰到的问题的时候，先尝试去解与这个问题相关的题目。我们先从比较少的环数开始解。比如：先解一个环，两个环，三个环，四个环，分别计算它们的步骤。

师生互动：1、解一个环，需要步骤是1步。2、解两个环，需要步骤是2步。

3、解三个环的步骤是先下1号环，再下三号环，二号环留在架上。再上1号环，剩下的就是重复解两个环的步骤。所以，一共是5步。

4、解四个环的步骤是先下1、2号环，需要2步；再下4号环，需要1步；再上1、2号环，需要2步；接下来就是重复解三个环的步骤，需要5步；一共需要10步。

师生总结：用kn表示解n个环的步骤数，则k3k22k11；k4k32k21

师问：同学们能否用类比的手段，推算下解五个环，解六个环的步骤数？

生5：解五个环需要k5k42k3121；

生6：解六个环需要k6k52k4142；

师问：那么解n个环需要的步骤数满足什么规律呢？

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生7：解n个环需要的步骤数是knkn12kn21

师问：这里的n有什么要求吗？

生8：n2,nN*

师：非常好，这样一来，玩九连环这个游戏，我们通过类比，建立了一个数列模型，即得到一个递推公式：knkn12kn21

【设计意图】通过解数学题的思维以及类比推理、归纳推理的应用，帮助学生总结出游戏规律，并通过建模思想，建立数列模型。

四、深入探究

思考：如果我们仅仅只是解决游戏“解九连环”的九个环全部取下，至少需要步骤数，那么用上面的递推公式，完全可以计算出来。随着时代的发展，有关连环类游戏有很多很多。（多媒体展出图片，图片来自互联网）

我们不禁会问一个比较刁钻的问题：如果是100个环相连，需要全部取下，至少需要多少步呢？再用上面的递推公式，我们的计算量就很大。有没有好的办法解决呢？

生9：求出通项公式。

师：非常好，求出通项公式就可以了。那么如何求通项公式呢？

(板书）已知数列kn满足k11,k22,knkn12kn21(n3)，求数列kn的通项公式。

生：（沉默！没人回答。）

师：我们以前研究过类似的问题吗？

例：已知数列an中，a11,a23,an23an12an，求数列an的通项公式。

解：由已知得an2an12an1an，设bnan1an，则bn12bn，所以数列

bn是以2为首项，2为公比的等比数列，有bn2n，即bnan1an2n，利用叠加可得an2n1

师：我们能借助上例的方法求kn的通项公式吗？

探究：参照上面的例题，设knkn11kn1kn21，则kn1kn1kn21，所以2，即knkn112kn1kn21，

记bnkn1kn，则bn12bn11(n2)且b1k2k13，于是数列bn1是以b114为首项，2为公比的等比数列。所以bn2n11，即kn1kn2n11，

可设kn1r2n1p(1)knr2np，则kn1kn3r2n2p

212121于是，r,p，即kn12n11kn2n

32323221121由此数列kn2n是以k12为首项，-1为公比的等比数列。

32632

3 

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211121于是有kn2n(1)n1，即kn(1)n12n。

326632师：通过上面的探讨，我们求出了连环类游戏取下n个环至少需要步骤数的通项公式，这样一来，面对100个环，哪怕1000个环，我们都可以通过计算得到最少的步骤数。

师：上面探究过程中，我们连续两次构造了新的数列，这是递推公式推导通项公式的重要的方法，同学们你们掌握了九连环数列通项公式的推导方法了吗？

【设计意图】波利亚在《怎样解题》中强调，解题过程中“观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目”，是解题的关键。推导上述数列的通项公式，方法很多。本节课引导学生从所学知识入手，循序渐进，将“探索发现”的悬念交给学生，把“创新发明”的成就留给学。问题解决的过程，培养了学生的合作探究能力和分析问题的能力。

五、方法应用

例1 已知数列an中，a15,a22,an2an13an2(n3)，求数列an的通项公式。

解：由已知可得，anan13an1an2(n3)，所以，数列an1an是以7为首项，3为公比的等比数列，即，an1an73n1(nN*)。

7可设an1r3n1anr3n1，则an1an4r3n1，于是r

4713777所以an13n1an3n1，这样数列an3n1是以a1为首44444137项，-1为公比的等比数列，于是an(1)n13n1。

44六、课时小结

请同学回忆本节课的内容：1、九连环的游戏规则；2、九连环的游戏本质；3、探究九连环数列的通项公式涉及哪些数学方法和数学思想；4、你对解决类似九连环数列的通项公式有什么体会。

安全提示

请同学们放学后注意安全，不要在马路上追逐打闹。

课后思考：请同学们课后推导著名的数列斐波那契数列的通项公式；

已知数列an，其中a11,a21,anan1an2(n3)，求数列an的通项公式。

551515

答案：an5252数学活动：九连环 四、深入研究

nn练习设计

板书设计

一、课程引入 多媒体平台 五、方法应用

二、游戏规则 六、课时小结

三、提出问题，探索研究 七、课后思考

教学反思：

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本节课以图片作为引入教学内容手段，目的在于吸引学生的注意力。通过事先让学生没人准备玩具“九连环”，让学生从直观上感受九连环这个游戏。接着利用解数学题的思想以及类比推理、归纳推理的方法，引导学生逐步去发现“九连环”这个游戏的规律，最后通过建模思想，建立数列模型，得到递推公式，即九连环数列的通项公式问题。第四环节是本节课的难点，主要是通过探究九连环数列通项公式，教学的设计是根据波利亚《怎样解题》的数学思想来引导学生逐步去发现并掌握递推公式求通项公式的一个非常重要的方法。

美国数学家米勒认为，“数学史最大的作用乃是它在该学科的学习中注入更多的活力，它把数学概念从静态转向动态；通过记录数学家在形成数学思想过程中所产生的影响，数学史使得数学人性化了。”本节课以传统的游戏开始对教学内容的动态、形象和生动地呈现，让学生感知数学并步枯燥乏味的科学，它设计生活中的方方面面，蕴含着强大的生命力。所以本节课不仅仅是为了传授递推公式推导通项公式的方法，更主要的是让学生理解“万物皆数”的数学意识。

本节课从游戏规则的探讨，发现了游戏中蕴含了数学本质，再到利用数学的知识解决游戏中步骤计数问题，让学生体会数学建模思想应用过程。引导学生科学的发现问题，提出问题，解决问题，培养学生用数学的眼光去观察世界，会用数学思维去发现问题，会用数学的知识解决问题。

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