小结优质课教案设计

主编人：王林会

审稿人：

定稿日：2017.11.

协编人：高三文科数学备课组

使用人：高三文科学生

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教师评价：

使用说明：回顾教材必修3P84—92,选修1-2P2--16，参考有关复习资料，用10分钟完成知识存盘，有能力的同学可以尝试完成合作探究

课题：相关关系、回归分析与独立性检验（一轮复习）

考纲要求

1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；

3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；

4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 考查课时：2 【知识存盘】

【要点梳理】

1．相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．

2．线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

3．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：

编号

SX028

^x＋a^，则(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为^y＝bb^xyii1nninxynx2，aybx

^^xi12i其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

r(xi1nix)(yiy)n(xi1n，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

ix)2(yiy)2i1(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．

(2)相关指数

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用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R21ˆ)(yyiin2(yy)iii1i1n，R2的值越大，说明2残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．

6．独立性检验

(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等．

(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

(3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：2×2列联表

y1

y2

总计

x1

a b a＋b

x2

c d c＋d

总计

a＋c b＋d a＋b＋c＋d

nadbc(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表Kacbdabcd来判断“x与y的关系”．这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．

自学检测

1、下列两个变量之间的关系是相关关系的是(

) A.正方体的棱长和体积

B.单位圆中角的度数和所对弧长

C.单产为常数时，土地面积和总产量

D.日照时间与水稻的亩产量

解：易知A，B，C是函数关系，D是相关关系．故选D. 222.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；

②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；

④y与x正相关且y^ ＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

) A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

解析

由正负相关性的定义知①④一定不正确.答案

D

3、r是相关系数，则下列叙述中正确的个数为(

) ①r∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强；

②r∈[0.75，1]时，两变量正相关很强；

③r∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般；

④r＝0.1时，两变量相关性很弱．

A．1

B．2

C．3

D．4 解：|r|越大，两变量相关性越强．故选D.

4、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据第

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^＝0.67x＋54.9. 收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y20 30 40 50 零件数x(个) 10

75 81 89 现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为____________．

解：x＝30，线性回归方程必过点(x，y)，

62＋a＋75＋81＋89则y＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数据为a，则＝75，解得a＝68.故填68. 55、利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度．

P(K20.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ≥k0) k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 如果K2≥5.024，那么有把握认为“X与Y有关系”的百分数为(

) A．25%

B．75%

C．2.5%

D．97.5% 解：∵K2≥5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X和Y有关系”．故选D.

【合作探究】

探究一：相关关系的判断

例1：对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

) 加工时间y(min) 62 A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案

C 小结1：对两个变量的相关关系的判断有两个方法：一是根据散点图，具有很强的直观性，直接得出两个变量是正相关或负相关；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关．

跟踪训练1：甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

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r m 甲

0.82

106

乙

0.78

115

丙

0.69

124

丁

0.85 103 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(

) A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

解析

在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性. 答案

D

探究2：回归方程的求法及回归分析

例2：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x

3 4 5 6 y

2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

参考：①用最小二乘法求线性回归方程系数公式bxynxyiii1nnxi12inx2,aybx

②3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，3242526286

) 解：(1)散点图如下：

(2)由系数公式可知，x＝4.5，y＝3.5，

4.5×3.5ˆ＝66.5－4×＝0.7，

b86－4×4.52ˆ＝3.5－0.7×a4.5＝0.35，

ˆ＝0.7x＋0.35. 所以线性回归方程为yˆ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前(3)x＝100时，y降低19.65吨标准煤．

小结2：(1)正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程y

＝bx＋a必过样本点中心(x，y)．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出第

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^^^－－^^

散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

跟踪训练2：

(2017·重庆一中质检)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

年份

时间代号t 储蓄存款y(千亿元)

^t＋a^；

(1)求y关于t的回归方程^y＝b(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．

∑ty－nt

y－－i＝1ii^^^^^^附：回归方程y＝bt＋a中，b＝n，a＝y－bt. －22∑t－nti＝1i解

(1)列表计算如下

i 1

2

3

4

5

∑

－2010

1

5

2011

2

6

2012

3

7

2013

4

8

2014 5 10 n－－ti

1

2

3

4

5

15

yi

5

6

7

8

10

36

t2i

1

4

9

16

25

55

tiyi

5 12 21 32 50 120 －1n151n36这里n＝5，t＝ni∑t＝＝3，y＝∑y＝i＝15ni＝1i5＝7.2. －－n222又∑t－nt＝55－5×3＝10，∑ty－nt

i＝1ii＝1iin－y＝120－5×3×7.2＝12，

∑ty－nt

y12－－i＝1ii^^^从而b＝n＝＝1.2，a＝y－bt＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为^y＝1.2t＋3.6. －1022∑t－nti＝1i(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为^y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．

探究三：独立性检验

例3：(2017·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天第

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n－－

使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为2经常使用微信，那么经常使用微信的员工中3是青年人．

(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；

经常使用微信

不经常使用微信

总计

青年人

中年人

总计

(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？

2n（ad－bc）附：K2＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

P(K2≥k0)

k0

0.010

6.635

0.001 10.828 解

(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)．

经常使用微信的有180－60＝120(人)，

2其中青年人有120×3＝80(人)，

使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，

所以2×2列联表：

经常使用微信

不经常使用微信

总计

(2)将列联表中数据代入公式可得：

180×（80×5－55×40）2K＝≈13.333，

120×60×135×452青年人

80

55

135

中年人

40

5

45

总计

120 60 180 第

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由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．

小结3：利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体n（ad－bc）22做法是根据公式K＝，计算随机变量的观测值k，k值越（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．

当堂检测

1、对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是(

)

A．r2

解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r2

2、下列说法中正确的是(

) ①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；

②独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断；

③独立性检验一定能给出明确的结论．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

解：假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”，若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立，故①②正确，当小概率事件没有发生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．故选A. 3、两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(

) A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80 C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25 解：相关指数越大，模型拟合效果越好．故选A.

4、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(

) A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法均不正确

解：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为0.05以下，这是数学中的统计思第

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维与确定性思维差异的反映．故选C.

5．（2014·湖北卷）根据如下样本数据：

x 3

4

5

6

7

8 y 4.0

2.5

－0.5

0.5

－2.0

－3.0 得到的回归方程为^y＝bx＋a，则(

) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 【答案】B 【解析】作出散点图如下：

^观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B. 6、某公司利润y与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：

x

10 15 17 20 25 28 32 y

1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 (1)画出散点图；

(2)求回归直线方程；

(3)估计销售总额为24千万元时的利润．

参考数据：x＝3447，xiyi=346.3. 2ii1i177

解：(1)散点图如图所示：

1x(2)＝(10＋15＋17＋20＋25＋28＋32)＝21，

71y＝(1＋1.3＋1.8＋2＋2.6＋2.7＋3.3)＝2.1，

7

ˆ＝bxyii15i17i7xy＝22x7xi346.3－7×21×2.1≈0.104，

3447－7×212ˆx＝2.1－0.104×21＝－0.084，

ˆ＝y－baˆ＝0.104x－0.084. ∴yˆ＝2.412(千万元)．

(3)把x＝24(千万元)代入方程得y∴销售总额为24千万元时，估计利润为2.412千万元

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