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2017-2018“一师一优课”教学设计

随机变量及其分布小结

---------高二数学选修2-3第二章

单位：兴宁市沐彬中学

姓名：

陈蔼玲

1

选修2-3

第二章

随机变量及其分布小结复习

教学设计（第一课时）

教学分析

《随机变量及其分布》属于选修2-3第二章，共4节，位于教材第44页至77页。本章是在必修3“統计初步”和“随机事件的概率”的基础上，学习随机变量和分布列的一些如识，并能解决简单的实际问题。主要知识点有：离散型随机变量分布列，离散型随机变量分布列的均值和方差的求法,二项分布，条件概率与事件的相互独立性的概念、公式，正态分布的意义和正态曲线的性质。本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础．从近几年高考试题来看，一般是“一小一大”

(一个选择或填空题，一个创新综合解答题)，属中档难度试题，主要考查概率的求法、随机变量的分布列、以及随机变量的期望方差等问题．学生在学完新课后，对主体知识有一个大致的了解，但尚待建立完整的知识体系和知识框架，对各知识的地位和功能还缺乏全面的认识。本节课是章节小结课，意在通过回顾、梳理本章的知识点来完善学生的知识结构体系，通过所学的知识解决实际生活中的问题，提高学生运用数学的能力。

1.通过梳理本章知识点，建构知识结构框图，并能综合运用所学知识解决具体问题；

2.通过典例探究，理解n次独立重复试验模型及二项分布，了解条件概率，两个事件相互独立的概念及有关公式，认识正态分布曲线的特点及其所表示的意义；

3.通过实例的分析判断，学会用离散性随机变量分布列的均值与方差解决一些简单问题。

1.培养学生分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力；

2. 通过例题及变式的解题思路的探寻,培养学生的思辩能力及思维的严谨性。

3.提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构。

教

学

说

明

知识目标

学

习

目

标

能力目标

情感态度与价值观

1.在独立思考的基础上，让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律,积极参与对数学问题的讨论，获得成功的体验。

2. 通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 2

教学重点

用典例帮助学生理解条件概率，独立事件的概念，学会用离散性随机变量分布列的均值与方差解决一些简单问题。 教学难点理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题.

解决对策1. 通过知识梳理，进一步熟悉基本概念和方法，构建知识网络，强化知识间的联系，形成解题技能。

2.以高考实例吸引学生注意，提高学生兴趣，刺激学生做题欲望。

3. 通过错题分析，达到加深概念理解，提升解题能力。

1.知识结构

…………2分钟

2.知识梳理

…………8分钟

①离散型随机变量及其分布列

②条件概率、独立事件

③二项分布 ④正态分布 3.典例分析 …………30分钟

4.课堂小结 …………3分钟

5.作业布置 …………2分钟

多媒体PPT演示与板书演练书写相结合。突出活动的组织设计与方法的引导，

“抓三线”，即一知识技能线，二过程与方法线，三能力线；“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点。学法：突出探究、发现与交流。

教学过程

教学时间设计

教学手段

环节

一知识点结构

教学内容

设计理念

构建知识网络，强化知识间的联系。

3

(1)随机变量的定义可用下图表示：

①随机变量：实验结果与实数一一对应

②离散型随机变量：随机变量的取值可以一一列出. ③连续型随机变量：随机变量取值是某个区间的一切值

(2)分布列



P

x1

P1

x2

P2

xi

Pi

离散型随机变量分布列的性质：

①pi0,i1,2,,n;

②pi1. i1n激发学生的兴趣，帮助学生梳理本章知识点，建构知识结构，熟悉基本概念和方法,为能综合运用所学知识解决具体问题做铺垫。

应用：可以检查分布列的正误：若所有项的和为1，则这个分布列是正确的；也可以利用这条性质来求概率值：如果一个分布列中，有一个P(Xxi)运算繁琐，我们可以先计算除P(Xxi)之外其余的概率值，二知识点梳理

然后用1减去这些概率值即得P(Xxi). (3)求分布列的步骤：

①首先确定随机变量X的所有可能值xi；

②求出各个取值下的所有事件的概率值P(X=xi)=pi，常利用古典概型和概率的加法、乘法公式求解；

③列出表格，即为分布列；

④验证分布列中所有概率值的和是否为1。

（二）、离散型随机变量的数字特征：数学期望与方差

一般的随机变量，通过如下公式求解其期望与方差。随机变量X的分布列为

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

则期望EX＝x1p1x2p2方差DXxipixnpn，

(xEX)ii1n2pi，标准差X=DX. 2重要性质：若ab,则EaEb，DaD

意义：期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值但不同于相应数值的算术平均数.随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值相对于E（X）的稳定与波动、集中与离散的程4

度.D（X）越小，稳定性越高，波动越小. 若给出的模型满足如下分布，可直接套公式求解：

1.两点分布，则EXpE（X）＝ｐ，DXp1p；

2.二项分布，即X~B(n,p)，则EXnp

,DXnp1p；

3.服从N，M，n的超几何分布，则EX=nM. N（三）、条件概率、相互独立事件

1.条件概率定义

条件概率是事件在一定附加条件下的概率，这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，通常表现为“A、B事件有关联，已知事件A发生了，求事件B的概率”.

一般地,设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)P(AB)

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概P(A)率. 注意:⑴0≤P(B|A)≤1；

⑵可加性：如果B和C互斥，那么P(BC)|AP(B|A)P(C|A)

2.条件概率的求法：

①对于古典概型的题目,可采用缩小基本事件空间的方法来计算条件概率：P(BA)n(AB)

n(A)②其他问题直接根据条件概率公式求解：P(BA)P(AB)

P(A)3.独立事件定义

相互独立事件则是指事件B的发生对事件A是否发生没有影响.这种情况

下，事件A、B同时发生的概率计算公式为P(AB)=P(A)P(B)，使用该公式时要注意区分“互斥事件”与“相互独立事件”的概念. 4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

①确定各个事件是相互独立且会同时发生

②先求每个事件发生的概率，

③套用公式求这些事件同时发生的概率. （四）、常见的分布列

1. 两点分布: 

P

0

1

P

1P

这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称pP(1)为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1p)

2.超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，5

其中恰有x件次品数，则事件xk发生的概率为kNkCMCNMP(Xk),k0,1,2,3,nCN,m．其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*，超几何分布列

x

P

0

1

m

mnmCMCNM

nCN0n01n1CMCNCMCNMM

nnCNCN3.二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为p(Xk)Cnp(1p)机变量x的概率分布如下：

x

0

1

kknk，随k

kknCnpq

n

nn0CnpqP

00n11nCnpqCnpq

我们称这样的随机变量x服从二项分布,记作X~B(n,p)

独立重复试验必须满足两个特征：

①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；

②各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立. 独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果：发生与不发生、成功与失败等.二项分布是一种建立在独立重复试验基础上的分布，是一种常见的离散型随机变量的概率分布.它的应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速的写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量每一个具体值对应概率的过程. 利用二项分布解决实际问题的关键在于判断实际问题给出的问题是否为二项分布模型.也就是看：题目的情景是否为n次独立重复试验；随机变量是否为n次独立重复试验中某事件发生的次数. 4.正态分布

⑴正态分布密度曲线

(x)12e(x)222,x(,)，，(0)分别表示总体的平均数与标准差，记为XN(,2)

正态曲线的特征：位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；曲线是先增后减，6

以直线x为对称轴；曲线与ｘ轴之间的面积为1；σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”.

（2）3原则：

P(X)0.6827，

P(2X2)0.9545，

P(3X3)0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,)的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称之为3原则. 【专题1 求概率】：

1.投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( ) A.进一步熟悉基本概念和方法，为下面能23157 B. C. D.

828822.在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在5次比赛中综合运用3运动员A恰有三次获胜的概率是（ ）

所学知识解决具体问题，形成三典例解析

，

深化理解

，

提升能力

A. 408011020 B. C. D.

2432432432433.坛子里放着7个大小、形状相同的球，其中有4个绿球，3个是白球。解题技能如果不放回地依次拿出2个球，求在第1次拿出绿球的条件下，第2次做热身。

拿出绿球的概率 ．

解：设“第1次拿出绿球”为事件A，“第2次拿出绿球”为事件B，【条件概则“第1次和第2次都拿出绿球”为事件AB. 率】是高考2从7个球中不放回地依次拿出2个球的事件数为n()A7. 42的一个热11常以选根据分步乘法计数原理n(A)A4A624，于是P(A)n(A)244. 点，n()427择题或填n(AB)1222因为n(AB)A412，所以P(AB). 空题的形n()427式出现，也法一：在第1次拿出绿球的条件下，第2次拿出绿球的概率为：

可能是大2P(AB)71. P(BA)题中的一4P(A)27211法二：因为n(AB)A412，n(A)A4A624，所以部分，难度适中。

n(AB)121. P(BA)n(A)242【点评】条件概率通常有两种求法:一定义法P(BA)P(AB)，二古典P(A)7

法，P(BA)n(AB)（缩减基本事件总数）

。

n(A)

【小结】求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种；

第二步，判断事件的运算（和事件，积事件），注意：至多、至少、同时、恰好等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系，确定事件至少有一个发生还是同时发生；

第三步，运用公式：相加或相乘的公式；条件概率公式。

【专题2 分布列、期望、方差】：

4.已知离散型随机变量的分布列如下：

X P 1 0.5 3 m 5 0.2 则数学期望E（x）=( ) A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4 5.已知随机变量X1B6,，则D（2X+1）=（ ）

2A.6 B.4 C.3 D.9 【小结】

常见离散型随机变量的分布：

两点分布、超几何分布、二项分布、

求解策略：

•

超几何分布，常借助排列组合及古典概型求解

•

两点分布，二项分布，直接借助公式求解

【专题3 正态分布及意义】：

6.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X估计，大约有57人的分数所在的区间为（ ）

N110,52，据此A.90,100 B. 95,125 C. 100,120 D. 105,115

【小结】

正态分布求解策略：3σ原则，采用数形结合的思想求解

【专题4 概率与期望

，创新综合】

(2018年高考全国新课标I)．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立

（1）记20件产品中恰有2件不台格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确8



2018年高考全国新课标I卷第20题，

定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验。

【分析】（1）求出fpC20p22考查学生的实践意识与应用能力。

【考点】：二项分布、期望及其意义。

【点评】本题考查二项分布概率，期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题。

1p18

18171722则fpC20利2p1p18p21p2C20p1p110p，用导数性质能求出fp的的最大值点p00.1

（2）（i）由p00.1，令ξ表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知ξ～B（180，0.1），再由X＝20×2＋25ξ，即X＝40＋25ξ，能求出E1800.118,EX4025E490

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）＝490＞400，从而应该对余下的产品进行检验，

【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，

182则fpC20p21p

18171722且fpC202p1p18p21p2C20p1p110p

令fp0，得p＝0.1 当p∈（0，0.1）时，f（p）＞0 当p∈（0.1，1）时，f＇（p）＜0，

fp的最大值点p00.1

（2）（i）由（1）知p＝0.1，

令ξ表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知ξ～B（180，0．1）

X＝20×2＋25ξ，即X＝40＋25ξ

E(X)=E(40+25ξ)=40+25E(ξ)=40+25×180×0.1=490 （i）如果对余下的产品作检验，则所需要的检验费为2002400元, 因为E(X)=490>400,所以应该对余下的产品进行检验。

【小结】: 离散型随机变量的分布列：超几何分布与二项分布。由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起。此题在求最值之前先求概率，文字较多，所以审清题意，分辨事件类型，再选择计算方法或公式，根据概率表达式思考最值的求解方法。

9

1.离散型随机变量的分布列：超几何分布与二项分布。由于这两种分布四课堂小结

列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起。

2.对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．

3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，是高考的热点内容。

【必做题】：

1、仔细阅读课本第36页至第43页；

2、甲乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，已击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率

。

3.口袋中有编号1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望是

。

4.现有10道题，其中6道一类题，4道二类题，甲从中任选3题解答。

（1）求甲所取的3道题中至少有1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道一类题，1道二类题，设甲答对每道一类题的概率是答对二类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示甲答对的题数，求X为1和3的概率。

【选做题】：

【专题5 互斥、独立，方程思想】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等学生理解、巩固知识能够起到良好的作用。

[必做题]：较基础，有利学生巩固所学。

[选做题]：1方程思五作业布置

想是解决概率问题的重要思想，在求两个或上事件的概率时常会用品的概率为1，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一到方程思4想，

等品的概率为1，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2．

2求相互912独立事件⑴分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；

一般与互⑵从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概斥事件、对率．

立事件结提示：根据题设条件列出相关未知数的方程或方程组求得结果。

合在一起答案：（1）甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分进行考查，别为P(A)1,P(B)1,P(C)2,；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各解答此类343问题时应取一个检验，至少有一个一等品的概率为分清事件间的内部2315P(D)1P(D)1[1P(C)][1P(B)][1P(A)]13436

联系，在此【专题6 分布列与期望，创新综合】“中国式过马路”存在很大的交通基础上用安全隐患。某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性基本事件别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联之间的交、表：

并、补运算

男性

女性

合计

表示出有关事件，并10

反感

10

不反感

合计

8

30 已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路

”的路人的概率是8。

15⑴请将上面的列联表补充完整（直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？

⑵若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国．．．．式过马路”的人数为x，求x的分布列和数学期望。

答案：⑴没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关；

⑵x的数学期望为：E(x)0运用相应公式求解。

3选做题效果将通过下节课的进行检测评价。

44815612.

1391917教学评价

本节课立足课本，着力挖掘，特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

1.亮点：

(1)以知识框图呈现随机变量及其分布的知识，直观简明；

(2)知识梳理充分关注贯穿本章始末，为能综合运用所学知识解决具体问题，形成解题技能做铺垫；

(3)关注高考，例题选择典型，关注应用问题的一般解法，归纳步骤与方法，讲练结合，达到良好的教学效果；

(4)在作业的布置上，以基础题为主，选做题为辅，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用，且对第二课时的内容起到承上启下的作用。

2.不足：课堂容量较大，在一些具体问题中，学生动手较少，选做题需要用到卡方公式，本节课是在第三章的独立性检验已经学完之后设计的复习课，如果第三章还未学习的话就不合适做这题。

板书设计

黑板板书区1 投影屏幕区

结构框图

例1 学生甲解答

黑板板书区2 知识点梳理

例题

小结

作业

例2 学生乙解答

11