1.3 二项式定理（通用）教学实录及点评

1．3.1

二项式定理

问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式． 提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 问题2：上述两个等式的右侧有何特点？ 提示：(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.

问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ 问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗

n1n－1nn提示：能，(a＋b)n＝C0a＋Cab＋…＋Cnnnb.

1．二项式定理

公式(a＋b)n＝

所表示的规律叫做二项式定理．

2．相关概念

(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．

(2)各项的系数 叫做展开式的二项式系数．

(3)展开式中的 叫做二项展开式的通项，记作：

，它表示展开式的第 项．

(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝

(1)项数：共有n＋1项；

012n(2)二项式系数：依次为Cn，Cn，Cn，…，Crn，…，Cn；

(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；

(4)通项是第r＋1项．

. 35[例1]

(1)用二项式定理展开(2x－2x2). 01n－2(2)化简：Cn(x＋1)n－Cn(x＋1)n－1＋C2－…＋(－1)rCrn(x＋1)n(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn. [思路点拨]

(1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． 3301[精解详析]

(1)(2x－2x2)5＝C5(2x)5＋C5(2x)4·(－2x2)＋…＋C55(－352x2)

180135405243＝32x－120x＋x－x4＋8x7－32x10. 5201n－2(2)原式＝Cn(x＋1)n＋Cn(x＋1)n－1(－1)＋C2(－1)2＋…＋n(x＋1)n－rnnnCr(－1)r＋…＋Cnn(x＋1)n(－1)＝[(x＋1)＋(－1)]＝x. [一点通]

(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

1．

2．

求(3x＋14)的展开式

x

3243546求C26＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6的值

[思路点拨]

求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．

[一点通]

求二项展开式中的特定项要注意以下几点：

(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的

应用；

n－rr4n－44(2)二项展开式的通项是指Tr＋1＝Crb，如T5＝T4＋1＝Cnab，na代入时不要代错值；

(3)常数项是指不含字母的项；

(4)有理项是指字母指数为整数的项．

n－rr1．要熟记Tr＋1＝Crb是第r＋1项，而不是第

nar项．

n－rr2．通项公式Tr＋1＝Crab主要用于求二项展开式

n的指定项或项的系数．

3．要注意区分某项的系数与二项式系数．