复习参考题公开课教学设计模版

第3讲

二项式定理教学设计

教材分析

学生在高二已经学习了二项式定理的全部内容，对这部分内容有了系统的学习，本节课主要是对这部分内容再次进行复习应用，巩固和加深。在复习的过程中，渗透排列组合等其他的知识内容，加深了知识点之间的联系性，也很好的体现了高考的综合性，培养学生的分析问题、解决问题的能力以及综合运用知识的能力。

教学内容分析

本节内容包括：二项式定理的内容、特点，二项式展开式的系数和二项式系数，二项式定理的应用。

教学目标

1.

知识与技能：

复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：通过学生的主体活动，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

教学重点、难点分析

重点：二项式定理的应用

难点：二项式定理及二项式系数性质的灵活应用

教学思想方法

本节课我采用的教学方法是启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

教学设计

一、

知识梳理

年份

卷别

乙卷

具体考查内容及命题位置

二项式定理、二项式展开式的通项·T6

二项展开式的通项·T4

二项式定理、特定项的系数·T14

2017年

2016年

丙卷

乙卷

Ⅰ卷

Ⅱ卷

2015年

二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10

二项式定理、二项展开式的系数和·T15

1．二项式定理

(1)定理

n1n1nkkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)．

－－(2)通项

nkk第k＋1项为：Tk＋1＝Ckb．

na－(3)二项式系数

二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0，1，2，…，n)．

2．二项式系数的性质

二、要点整合

1．辨明三个易误点

nkk(1)通项Tk＋1＝Ckb是展开式的第k＋1项，不是第k项．

na－(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式

中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．

(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ckn(k＝0，1，…，n)．

2．二项展开式系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各Ak≥Ak－1，项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，Ak≥Ak＋1，即得．

三、双基自测

1x－展开式的第4项等于5，则x等于(

) 1．已知x1A.

7C．7

B

[解析] 由34T4＝C7x6371B．－

7D．－7 －1＝5得x＝－1，故选B．

x712x＋2的展开式中，常数项的值是(

) 2.二项式xA．240

C．192

6B．60 D．180 r16－r16－rr6－3r2x＋2展开式的通项为Tr＋1＝Cr2＝2

[解析] 二项式(2x)C6x，令6－3r＝0，6xx6×5－得r＝2，所以常数项为262C2＝16×＝240. 62×13．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(

) A．180

C．45

B．－180 D．－45 28

[解析] 由题意得a8＝C8102(－1)＝180. 3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(

) A．180

B．－180 C．45

D．－45 28

[解析] 由题意得a8＝C8102(－1)＝180.

4．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．

22[解析] 由题意可知C2n3＝54，所以Cn＝6，解得n＝4. ax2－的展开式中，x的系数是－10，则实数a的值为________．

5．在二项式x25－r[解析] Tr＋1＝Cr·5(x)10－3r－a＝(－a)rCr·x.

5xr53当10－3r＝1时，r＝3，于是x的系数为(－a)3C35＝－10a，从而由已知得a＝1.

四、典例讲解

考点一：二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点) 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．

高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：

(1)求展开式中的某一项；

(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；

(3)由已知条件求n的值或参数的值．

(1)(2017·高考全国卷丙)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(

) A．－80

B．－40 C．40

D．80 (2)(2016·高考山东卷)若(ax2＋15)的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．

x23【解析】

(1)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C35(2x)(－y)，当3233第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C25(2x)(－y)，所以xy的系数为22C5×23－C35×2＝10×(8－4)＝40.

(2)(ax2＋15r5r525－rr5－r)的展开式的通项Tr＋1＝Cr(ax)·x－＝Ca

·x10－，令10－r＝5，55222x23得r＝2，所以C5a＝－80，解得a＝－2.

规律方法：与二项展开式有关问题的解题策略

(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．

(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．

(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

课堂练习：

角度一

求展开式中的某一项

21x3－＋x＋的展开式中的常数项为(

) 1.xxA．32

C．36

2x3－的展开式的通项为

[解析] x34－kTk＋1＝Ck·4(x)k12－4k－2＝Ck(－2)x，

4xk448B．34

D．38 令12－4k＝0，解得k＝3，

x＋1的展开式的通项为Tr＋1

x8－r＝Cr·8·x8－2r1＝Cr·x，

8xr8令8－2r＝0，得r＝4，

34所以所求常数项为C34(－2)＋C8＝38.

角度二

求展开式中的项的系数或二项式系数

2．(2017·湖北枣阳第一中学模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(

) A．10

C．30

B．20

D．60 －25r232

[解析] (x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr·yr，令r＝2，则T3＝C25(x＋x)5(x＋x)y，23k6k又(x2＋x)3的展开式的通项为Ck·xk＝Ck，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)53(x)3x－－1的展开式中，x5y2的系数为C25C3＝30，故选C.

角度三

由已知条件求n的值或参数的值

11ax＋2x＋展开式中的常数项为－40，则a＝________．

3．若xx15－r5－r5－2r1＝Crax＋12x＋展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr[解析] (2x)·2x，因为55xxx123132－12x＋1的展开式中的常数项为－40，所以axC2x＋C2x＝－40，所以40a＋80＝－40，5xx5解得a＝－3.

55r5

考点二：

二项式系数的性质或各项系数和

1x2－的展开式中，系数最大的项为第________项．

(1)在二项式x(2)(2017·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

r22【解析】

(1)依题意可知Tr＋1＝Cr11(－1)x－3r11，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是564C11与C611.当r＝6时，T7＝C11x，故系数最大的是第七项．

(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.

互动探究：

本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

[解析] 令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.

[答案] －1或－5 规律方法：赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）－f（－1）.

2f（1）＋f（－1），偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝2课堂练习：

1．(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为______(结果化成最简形式)．

[解析] (1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1－5y)5的展开式的各项系数和，在(1－5y)5中，令y＝1，得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1 024，所以(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为－1 024.

2．在(1－x)3(1＋x)8的展开式中，含x2项的系数是n，若(8－nx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋

anxn，则a0＋a1＋a2＋…＋an＝________．

1228[解析] (1－x)3的展开式的前三项为T1＝C03，T2＝－C3x，T3＝C3x，(1＋x)展开式的前三项1222021120为P1＝C08，P2＝C8x，P3＝C8x，所以x的系数为C3×C8－C3×C8＋C3×C8＝7，所以n＝7.

(8－7x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，

令x＝1得(8－7)7＝1. 五、课后小结：

1、与二项展开式有关问题的解题策略；

2、求二项展开式各项系数之和常用赋值法。

六、作业布置：

课后达标检测A本完成基础达标