1.3 二项式定理（通用）优秀完整教案

《二项式定理（1）》教学设计

一、教学设计

1. 教学内容解析

高中数学教材中的二项式定理主要包括：二项式定理的推导，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布（特别是超几何分布）作铺垫。

2.学生学情分析

学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决(ab)n展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来，从(ab)、(ab)2、(ab)3、(ab)4……的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，能保证展开式恒成立吗？

n无穷大时，

3．教学策略分析

考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理的推导过程（生长性）；二是基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、二项式系数、通项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想—证明——归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先让学生计算(ab)2?

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……在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的(ab)3?

(ab)?方法解决该问题。

在教学过程中，为学生自主探索、合作交流提供足够的时间和空间，放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经验的基础上主动建构。并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心。

4．教学目标设置

知识与技能：

(1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理； (2)能利用通项公式求某一项的系数。

过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

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情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重点：用计数原理分析(ab)2、(ab)3的展开式，推导二项式定理；

教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。

二、教学过程

1.引出问题

教师：请同学们计算下面两个题：

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(ab)2?

(ab)?【教师巡视2分钟，学生用初中多项式的乘法展开(ab)2a22abb2，(ab)3=(ab)(ab)2(ab)(a22abb2)……】

教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个：

(ab)4?

【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，大部分学生停下演算静静的思考……】

【说明：学生i(i1,2,3....)表示预设学生可能回答或提出的问题】

学生1：(ab)4就是4个(ab)相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候去哦！

学生2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。

学生3：就像数列的通项公式吗？

……

教师：你能猜想ab2018的展开式是什么吗？

学生4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。

学生5：一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？

……

教师：同学们很聪明啊! 教师板书：二项式定理：(ab)n?

2.亲身体验，探索新知

教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？

学生6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一般情况。

学生7：好像每一项都有a,b，只是系数不同。

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学生8：不对！有一项只有a，有一项只有b。

教师：“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！

教师：记得刚才有同学说，(ab)4就是四个(ab)相乘，刚才求得的展开式是这样的：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b6a2b24ab3b4。

请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

学生9：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法；第二步，第二次取有两种不同的方法，共四步，共有2416项。

学生10：但是展开式只有5项……哦，合并同类项了！

【预设学生遇到困难，教师提示】

根据多项式乘法法则，每个(ab)(ab)2(ab)(ab)是2个(ab)相乘，再相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(ab)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，(ab)2的展开式有4项，而且每一项都是a2kbk(k0,1,2)的形式。

00每个都不取b的情况有1种，即C2,即a2前的系数为C2；

11恰有1个取b的情况有2种，即C2，即ab前的系数为C2；

22恰有2个取b的情况有1种，即C2，即b2前的系数为C2；

02122因此，(ab)2(ab)(ab)a22abb2C2aC2abC2b

学生：……

教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则，(ab)4展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。我们分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到a4；第二类：三个括号都取a，一个括号取b得到a3b；第三类……，第四类……

教师：A同学，你具体分析a3b有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？

学生A：a3b是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，

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共有四种取法，所以系数为4。

教师：A同学回答得很好，观察得很仔细，很好地回答了问题①②，请坐！

教师：接下来我们一起看其他情形。（教师多媒体动画演示）

说明：教师分析(ab)2

展开式每一项特征，并师生共同归纳出其表达式；(ab)3，(ab)4由学生独立思考并展示。

3.合作探究，总结规律

问题：一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？

学生小组讨论，归纳并总结。时间是8分钟。

0n1n1rnrrnn【多媒体展示】(ab)nCnaCnabCnabCnb

（1）

共有n1项；

012kn（2）

二项式系数：Cn、Cn、Cn、．．．、Cn、．．．、Cn；

rnrr通项：TCab

r1n（3）

（4）

注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。

【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验。

01rn【问题】各二项式系数之和是多少？即CnCnCnCn? 【教师点拨】

01rn（1）将二项式定理左边a、b都赋值为1，得CnCnCnCn2n；

（2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项a、b的一切取值都成立，因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中令bx，那么二项式定理变成一个关于x的函数f(x)(ax)na0a1xa2x2anxn。所有各项系数和就是f(1)。

4.典型例题

例1：求(2x16)的展开式. x【要求】学生4分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果；

预设：学生可能出现的两种解法：方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算难度。

【追问】例题中的第二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多

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少？

……

5.巩固练习

A组

基础题

（1）求(pq)7的展开式；

（2）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（3）求(x32x)7的展开式的第四项的二项式系数；

B组

提升题

a（1）若(x)9的展开式中x3的系数是84，则a ．

x（2）求(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中含x4项的系数为 .

【设计意图】设置问题在学生最近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运用，对所学新知识点有效提升。

三、归纳总结

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）你掌握了哪些学习数学方法？

四、作业布置

；第4题（2）（3）；第5题。

P37习题A组第2题（2）

五、教学反思

1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣总结规律—典型例题分析—强化训练，巩固提升”充分体现师生、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。

2、本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个问题(ab)2?，接着在(ab)4?，(ab)3?开始，乃至(ab)n?的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。ab2018，问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭

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示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。

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