小结教学设计

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

1．了解分类变量、2×2列联表、随机变量K2的意义．

2．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想方法．(重点) 3．通过对典型案例的分析，了解两个分类变量的独立性检验的应用．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

列联表和等高条形图

阅读教材P91～P94，完成下列问题．

1．分类变量和列联表

(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．

②2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

x1

x2

总计

2.等高条形图

(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

1

(2)观察等高条形图发现关系．

ac和相差很大，就判断两个分类变量之间有a＋bc＋d

1．下面是2×2列联表：

x1

x2

总计

y1

a 2

b y2

21

25

46 总计

73 27

则表中a，b的值分别为________．

【解析】

∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54. 【答案】

52

54 2．下面的等高条形图可以说明的问题是________(填序号)．

图3-2-1 ①“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的；

②“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同；

③此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方；

④“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握．

【答案】

④

3．下列说法正确的有________(填序号)．

①分类变量的取值仅表示个体所属的类别，它们的取值一定是离散的；

②分类变量的取值也可以用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其

2

他的含义；

③2×2列联表是两个分类变量的频数汇总统计表；

④2×2列联表和等高条形图都能反映出两个分类变量间是否相互影响．

【解析】

由分类变量的定义可知①②正确；由2×2列联表的定义可知③正确；2×2列联表和等高条形图都能展示样本的频率特征，若在一个分类变量所取值的群体中，另一个分类变量所取值的频率相差较小，则说明这两个变量不相互影响，否则就相互影响．故④正确．

【答案】

①②③④

教材整理2

独立性检验

阅读教材P93～P96，完成下列问题．

1．定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

nad－bc22．K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d23．独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0. (2)利用公式计算随机变量K2的观测值k. (3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

1．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：

第一种剂量

第二种剂量

总计

死亡

14

6

20

存活

11

19

30

总计

25 25 50 进行统计分析时的统计假设是________．

【解析】

根据假设性检验的概念知，应“假设电离辐射的剂量与人体受损

3

程度无关”．

【答案】

假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关

2．某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：

男生

女生

非统计专业

13

7

统计专业

10 20 为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量50×13×20－10×72K的观测值为k＝≈4.844.因为k>3.841，所以确认“主修23×27×20×302统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．

【解析】

因为随机变量K2的观测值k>3.841，所以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%. 【答案】

5%

[小组合作型]

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关

某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

【精彩点拨】

首先求出在考前心情紧张与考前心情不紧张群体中，性格内向的频率，再绘制等高条形图进行判定．

【自主解答】

作列联表如下：

4

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

性格内向

性格外向

332

94

426

213

381

594

总计

545 475 1 020 在考前心情紧张的群体中，性格内向的约占61%，在考前心情不紧张的群体中，性格内向的约占20%.绘制相应的等高条形图如图所示：

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例大，可以认为考前紧张与性格类别有关．

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：

(1)统计：收集数据，统计结果．

(2)列表：列出2×2列联表，计算频率、粗略估计．

(3)绘图：绘制等高条形图，直观分析．

[再练一题] 1．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否有关？

【解】

根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：

不及格

经常上网

不经常上网

80

120

总计

200

5

及格

总计

120

200

680

800

800 1 000 得出等高条形图如图所示：

比较图中深色条的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．

由K2进行独立性检验

某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则我们能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系？

数学优秀

数学非优秀

物理优秀

化学优秀

总分优秀

228

143

225

156

267 99 注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人.

【导学号：29472086】

【精彩点拨】

首先分别列出数学成绩与物理、化学、总分的2×2列联表，再正确计算K2的观测值，然后由K2的值作出判断．

【自主解答】

(1)根据已知数据列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

物理优秀

228

143

物理非优秀

b d 总计

360 880

6

总计

371

b＋d 1 240 ∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869. 代入公式可得K2的观测值为k1≈270.114. (2)按照上述方法列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

总计

化学优秀

225

156

381

化学非优秀

135

724

859

总计

360 880 1 240 代入公式可得K2的观测值k2≈240.611. 综上，由于K2的观测值都大于10.828，因此说明都能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系．

1．利用K2进行独立性检验的步骤

(1)列表：列出2×2列联表．

(2)求值：求出K2的观测值k. (3)判断：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小作出判断．

2．独立性检验的必要性

列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，它具有随机性，所以只能利用列联表的数据和等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系．而K2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准．利用它能精确判断两个分类变量是否有关系的可靠程度．

[再练一题] 2．在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家分步实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．

问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响？

【解】

根据题意，列出2×2列联表：

志愿者

非志愿者

总计

7

开发战略公布前

开发战略公布后

总计

由公式计算K2统计量得：

80

920

1 000 400

480

800

1 720

1 200 2 200 2 200×80×800－920×4002k＝≈205.22. 480×1 720×1 000×1 200因为205.22>10.828，因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响．

[探究共研型]

独立性检验与统计的综合应用

探究1

从容量为400人的中年人与容量为100人的老年人中抽出50人去体检某项健康指标，若采取分层抽样方法，应从中抽取老年人为多少人？

【提示】

50×100＝10(人)．

400＋100探究2

高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据：

数学成绩好

数学成绩不好

总计

总成绩好

总成绩不好

总计

478

399

b a 24

c 490 423 913 你能求出a，b，c的值吗？该问题中有几个分类变量？它们的取值分别是什么？

【提示】

a＝12，b＝877，c＝36.该问题中有“总成绩”和“数学成绩”两个分类变量；“总成绩”的取值有“总成绩好”与“总成绩不好”两个值，“数学成绩”的取值也有“好”与“不好”两个值．

探究3

在探究2中，你认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？

8

【提示】

由探究2计算随机变量K2的观测值：

913×478×24－399×122k＝≈6.233>5.024，

490×423×877×36∵P(k≥5.024)≈0.025，

∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两班均有50人，一年后对两班进行测试，成绩如下表(总分：150分)：

甲班

成绩

频数

乙班

成绩

频数

[80,90)

1

[90,100)

11

[100,110)

23

[110,120)

13

[120,130) 2 [80,90)

4

[90,100)

20

[100,110)

15

[110,120)

10

[120,130) 1 (1)现从甲班成绩位于[90,120)内的试卷中抽取9份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更合理，并写出最后的抽样结果；

(2)根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8分，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分；

(3)完成下面2×2列联表，你认为在犯错误的概率不超过0.025的前提下，“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由.

甲班

乙班

总计

成绩小于100分

成绩不小于100分

总计

a＝________

12

36

26

d＝________

64

50 50 100 【精彩点拨】

(1)由三组数据存在差异确定抽样方法，计算抽样比，确定各区间抽取份数；

(2)累加各组的组中值与频率的积，计算乙班的平均分，进而得到两班的平均分的差；

9

(3)根据已知数据得到2×2列联表，求出K2的观测值k，对照临界值表得出对应的概率的值．

【自主解答】

(1)用分层抽样的方法更合理．甲班成绩位于[90,120)内的试91卷共有20＋15＋10＝45(份)，从中抽取9份，抽样比为45＝5，故在[90,100)，111[100,110)，[110,120)各分数段内抽取试卷20×5＝4(份)，15×5＝3(份)，10×5＝2(份)．

(2)估计乙班的平均分为x乙1112313＝85×50＋95×50＋105×50＋115×50＋2125×50＝105.8,105.8－101.8＝4，即两班的平均分差4分．

(3)补全列联表如下：

甲班

乙班

总计

成绩小于100分

a＝24

12

36

成绩不小于100分

26

d＝38

64

总计

50 50 100 由列联表中的数据，得K2的观测值为

100×24×38－26×122k＝＝6.25>5.024，

36×64×50×50所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”．

1．独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．

2．近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算K2的观测值，从而解决问题．

[再练一题] 3．某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图3-2-2所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为

10

主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

50岁以下

50岁以上

总计

主食蔬菜

主食肉类

总计

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．

【解】

(1)2×2列联表如下：

50岁以下

50岁以上

总计

主食蔬菜

4

16

20

主食肉类

8

2

10

总计

12 18 30 230×8－128(2)因为K2＝＝10>6.635，

12×18×20×10P(K2>6.635)＝0.01，

所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

1．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(

) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

11

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

【解析】

k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．

【答案】

B 2．下面是调查某地区男女学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图3-2-3中可以看出(

)

图3-2-3 A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的比为60% 【解析】

由题图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢理科的比为40%，故A，B，D错误，C正确．男生比女生喜欢理科的可能性大些．

【答案】

C 3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，认为两个变量有关系犯错误的概率不超过________．

【解析】

如果K2的观测值k>6.635时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.01. 【答案】

0.01 4．下列关于K2的说法中，正确的有________．

①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；

②若求出K2＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

12

③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．

【解析】

对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②，③正确．

【答案】

②③

5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．

(1)将下面的2×2列联表补充完整；

男婴

女婴

总计

晚上

白天

总计

(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？

【导学号：29472087】

【解】

(1)

男婴

女婴

总计

晚上

24

8

32

白天

31

26

57

总计

55 34 89 (2)由所给数据计算K2的观测值

89×24×26－31×82k＝≈3.689>2.706. 55×34×32×57根据临界值表知P(K2≥2.706)≈0.10. 因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．

13

14