探究与发现 组合数的两个性质公开课教案

组合数的两个性质

教学目的：熟练运用组合数的计算公式归纳并证明组合数的两个性质，

能够运用组合数的性质解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：

一、复习回顾：

1．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

m

2．组合数的计算：Cn___________________________ =______________________________

48337153.计算：①C12和C12

,

C18和C18,

C10和C10；

323254335②

C7与C8；

C5与C4;

C8与C7

C7C4C7

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）

二、新授内容：

mnm1．组合数的

性质1：C

nCn．

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个．．．．mnm元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体现：“取Cn法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmnm3

此性质作用：当m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

2x

4

CnCnyxy或xyn

798例如：C9_______________

C100_________________

2．例题:一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

323

引导学生发现：C8．为什么呢？

C7C7

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

mmm1

n3．组合数的

性质2：C．

1＝Cn+Cnmm1

证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m(nm1m)n!

m!(nm1)!m!(nm1)!

m(n1)!Cn1

m!(nm1)!mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cnm

一般地，从a1,a,......,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从m1个；不含a2,a3,......,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm有a1的组合是从a2,a3,......,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

4．例题

56(1)计算:①C12 ②C8C7

C1232

⑵

求证：Cn

m1m1mm1Cn2CnCn2

三、课堂练习：

（一）.计算

nn1197345 (1) C200 (2)

Cn

(3) gCCCC1n778

mm1mm1（二）. 求证：CnCn1Cn1Cn1

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．

五、评测练习: 1、计算：

（1）

C52C52C52C5C5（2）C

544444C6C7C84C9C1012345123439CCCC......C（3）

345641 2、证明: Cn3、已知

nnnnn1CnC......CC1n2nm1nm1012nCnCnCn......CnK123n1C2C3C......(n1)C 化简： nnnn