1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

《二项式定理》

教学设计

选修2-3 第一章 1.3.1 《二项式定理》教学设计

教学设计思想

现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．

二项式定理这部分内容思维量大，比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己在游戏、活动中去体验知识探究的过程，从而建构知识网络，是本节课教学设计的核心．

采用活动体验、启发探究式教学方式：

一是从实际应用问题引入课题。这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题．

二是从特殊到一般。面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生联系已学知识，自己去体验探究n=1，2，3，4时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容．

三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容与特点，并能尝试用计数原理分析说明．

四是教师的引导启发与学生的体验探究相结合，归纳二项式定理的项与系数，以及通项的认识．再让学生去体会应用. 本节课，学生通过对n=1，2，3，4，…时二项展开式的体验，归纳、猜想到n为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义.这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．

本节课应用计数原理对二项式定理特点及规律的认识，总结和归纳，有利于学生对已学知识的强化和二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．

学生情况分析

学生在学习了计数原理的基础上，有一定的知识基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．

学生在高中经历了近两年的新教材的学习，有过探究、交流的课堂学习的体验基础．

教学流程框图

高铁视频，情境引入

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完全平方，重新认识

1．教材分析：

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法．

教材的安排：教材中是通过n取一些特殊值（n=1，2，3，4）的基础上，观察归纳出二项式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，然后教材采用的是利用计数原理来说理证明．教材随后安排了通项的认识，和二项展开式中标准形式进行变形认识，为了加深对定理的理解，教科书中给出了二项式的特例:a1,bx时的展开式.然后给出两道例题在于熟悉二项展开式及通项，培养学生的运算能力. 2．内容分析：

0n1n112n2knknn(ab)nCnaCnabCnab2CnabkCnb

活动体验，提升3次

合作探究，应用到4 合作探究，推广到n 回到引入，应用巩固 小结提升，思维拓展[来

对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式． 3．教学目标：

（1）知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用； （2）能力目标：通过探究活动，经历数学思维的“观察—归纳—猜想—证明”，

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从而培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力，渗透化归转化的数学思想，提高学生解决实际问题的能力．

（3）情感目标：以引以为傲的国家高铁科技切入课题，激发学生们的民族自豪感，从而渗透爱国主义教育；在合作探究中，让学生享受合作学习带来的情感体验和成功喜悦；通过对二项式定理公式的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．

4．教学重、难点：

教学重点：用计数原理分析

的展开式，得到二项式定理. 教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时项与系数的规律. 5．教学方法与手段

皮亚杰的认知结构学认为：所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展.”所以教学活动不应该是单方面的知识迁移.所以本节课教学中将采用“诱导——启发——总结”三维立体的启发式教学方法.在学法上：指导学生“自主——合作——探究”的互动探究式学习方法. 1．教学方法：诱导启发、合作探究的互动式教学方法

2．教学工具：多媒体课件、视频、实物教具、导学案

6.教学过程

一、设置情境，引入课题 （视频：中国高铁）

从中长期政策目标来看，最新《中长期铁路网规划》中提出：到 2020 年，一批重大标志性项目建成投产，铁路网规模达到15 万公里，其中高速铁路3 万公里，覆盖80%以上的大城市. 上图为十二五期间的高铁营业里程，据此计算，十二五期间高铁运营里程平均增速约为10%. 如果按照十二五期间增速到2020年能实现3万公里高铁目标吗？

即1.9(110%)53是否成立？ 问题：那么如何计算1.9(110%)5的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值，从而做出选择呢？这就得研究形如(ab)n的展开式问题．

【设计意图】

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创设情境，激发民族自豪感，渗透爱国主义教育，激发学习兴趣，同时引入今天的课题. 二、探索二项式定理

[联系特殊]完全平方公式

(ab)2(ab)(ab)

a2abbab2

a22abb2

问题1：2次展开容易得到,3次方呢?4次、5次方呢？等等. 形如(ab)n能得到它的展开式吗？

（设置障碍，引出思考）

问题2：结合组合知识你能重新认识这个公式的得来吗？

（删掉：“a2abbab2”，来重新认识公式）

问题3：展开式里面的每一项是怎么得到的？有什么特点？

（研究：分析项的得来——把括号封闭起来，对应口袋中装球，取球实物展示）

问题4：每一项的系数怎么得到的？

（研究：分析系数的得来——对应各种情况的取球情况）

（教具：两个袋子，每个袋子中装有标有a,b的小球各一个）

两个(ab)都取a（取0个b），两个因式一旦b取定了a也就定了，即k0aa：002有C21个a2项，即C2aa2; ab:两个(ab)中一个取a一个取b,同样两个因式一旦b取定了a也就定了，11即k1有C22个ab项，即C2ab2ab；

22bb：两个(ab)都取b，即k2有C2bbb2. 1个b2项，即C2（师）这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，(ab)2的乘法抽象一点. 02122所以展开式：(ab)2(ab)(ab)C2aC2abC2b

（强调：右边这样的表示形式叫做二项展开式，利用多项式乘法原理结合组合知识我们就可以得到它的展开式，免去了繁杂的化简运算）

【设计意图】

遵循从特殊到一般的认知规律，通过具体的取球展示让学生再认识完全平方公式的得来，以这样一个实质上对应的问题让学生明白我们学习了计数原理后，利用多项式乘法原理和计数原理相结合可以减少运算得到2次方的展开式，理解展开式中项与系数的得来，为二项式定理的得来打下基础.

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问题：

(ab)3能同样认识它的展开式吗？

活动一：

今天晚上我们来自不同学校的老师们为了相互交流，加深了解，要进行一个“联谊交流会”.假设共有来自3所学校的6位老师，每所学校各2人，要求一所学校只需派一人参加，共有多少种参会方式？ 学校

学校1 学校2 学校3 (活动记载表) 出席会议情形记载表

情形一

情形三

情形五

情形七

情形二

情形四

情形六

情形八

分类统计表

bbb

abb

老师编号

1号

3号

5号

2号

4号

6号

aaa

aab

对应：(ab)3(ab)(ab)(ab)，你能借此经验用组合知识得到它的展开式吗？

aab；abb；bbb,由多项式乘法原理知道展开会出现四种单项式：aaa；111利用分步计数原理我们知道展开因该有C2每一项都是C2C22228项，三次式，可以写成这样的形式：a3kbk(k0,1,2,3). ，三个因式一旦b取定了a也就定了，aaa：三个(ab)都取a（取0个b）003即k0有C31个a3项，即C3aa3; aab:三个(ab)中两个取a一个取b,同样两个因式一旦b取定了a也就定112了，即k1有C33个a2b项，即C3ab3a2b；

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abb:三个(ab)中一个取a两个取b,同样两个因式一旦b取定了a也就定2212了，即k2有C33个a1b2项，即C3ab3a1b2；

33bbb：三个(ab)都取b，即k3有C31个b3项，即C3bbbb3. 所以展开式：

0312233(ab)3C3aC3abC3ab2C3b

【设计意图

】

以问题为主导，结合可操作性原则设计活动，从二次到三次的二项展开是一个质的飞跃.在活动中让学生经历知识的构建过程，突破展开式中项与系数这个难点，从而对知识的生成过程更清晰. 问题：(ab)4?

活动二：

小组合作探究，形成结果，代表汇报. 问题引导：

(1)有些什么项？

(2)每一项的系数是什么？

学生归纳过程可能如下：

以(ab)4为例的展开式的分析过程：

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：

a4,a3b,a2b2,ab3,b4．在上面4个括号中：

40每个都不取b的情况有1种，即C04种，所以a的系数是C4；

31恰有1个取b的情况下有C14种，所以ab的系数是C4；

222ab恰有2个取b的情况下有C2种，所以的系数是C44；

恰有3个取b的情况下有C3所以ab3的系数是C3[来源:Z§xx§k.Com]

4种，4；444个都取b的情况下有C44种，所以b的系数是C4；

因此：

041322344(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)C4aC4abC4ab2C4ab3C4b【设计意图】

正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之.”有了2次、3次的探索体验，让学生在问题的引导下自我尝试

的分解，层层深入，为后续推广到n次的展开打下基础.

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分析以上展开式项与系数特点：

02122(ab)2C2aC2abC2b

0312233(ab)3C3aC3abC3ab2C3b041322344(ab)4C4aC4abC4ab2C4ab3C4b

[归纳、猜想]

(ab)n?

0n1n112n2knknn(ab)nCnaCnabCnab2CnabkCnb

活动三：

小组合作探究，形成结果，代表汇报. 问题引导：

(1)有些什么项？

(2)每一项的系数是什么？

[学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述] 证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组k合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

0n1n112n2knknn(ab)nCnaCnabCnab2CnabkCnb

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：

（1）

项数：n1项；

（2）

指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

k（3）

二项式系数：Cn下标为n，上标由0递增至n；

knk（4）

通项：Tk1Cnabk(k0,1,2,,n)指的是第k+1项，该项的二k项式系数是Cn与a，b无关；

（5）

公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式．

（6）

特殊公式：当a1,bx时，

0112knn有：(1x)nCnCnxCnx2CnxkCnx

[板书（1），（2）,（3）,（4）] 【设计意图】

本环节以问题为中心，在归纳中提升.由浅入深地引导学生“大胆猜想，严谨论证”.充分揭示二项展开式的内涵和外延,帮助学生建构和完善自己的认知结构，

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既显得合情合理，又科学严谨,进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力. 三、二项式定理的应用

例题1：解决本节课的课前问题．

解：

1.9(110%)5 1351.91C5(0.1)1C52(0.1)2C5(0.1)3C54(0.1)4C5(0.1)5

由此可见，能实现规划，到时我们的出行将更方便，让我们共同期待生活更美好．

例题2：展开(12x)4

0431222313404解：(12x)4C41(2x)0C141(2x)C41(2x)C41(2x)C41(2x)

1.9(10.50.1)3.0418x24x232x316x4

思考1．第三项的系数是多少？

思考2．第三项的二项式系数是多少？ Z#X#X#K]

思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？

课堂练习：

P31练习1题. 【设计意图】

解决问题的同时去挖掘问题，拓展思维，达到知识与能力的提升. 同时也渗透德育期待美好，向往未来. 四、归纳小结

1．学生的学习体会与感悟(学生回答)；

2．教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．

五、作业：P31练习2，3，4题. 【设计意图】

一流的人才都是善于总结的，通过小结，使学生对本节课的知识与方法更加清晰，同时培养课后总结的好习惯. 六、板书设计

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课题：1.3.1 二项式定理

一、新课引入 1）二项式定理 四、课堂练习

问题 2）计数原理证明二项式定理 五、课堂小结

二、讲授新课 3）二项式定理的特征 六、布置作业

1、

探究 三、例题

2、二项式定理 例题1 例题2

七、预测与反馈：

【评价与反馈】

（教学过程中积极开展学生自评、互评）

1、本节课通过国家高铁发展引入二项式定理的研究，应用 原理分析其展开式，得到二项式定理为： ；

2、通项是：

；共有

项，各项的特征是： ；

3、课后作业. 【教学预设】

这堂课以引以为傲的国家高铁科技切入课题，通过设计活动情境去体验知识的生成，再通过合作探究去构建知识体系，最后再回到实际问题中求解应用.让学生在兴趣的推动下，美的享受中收获有形的知识，同时收获无形的“解惑之法与求真之术”.

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