信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学实录

《正态分布——信息技术应用μ，σ对正态分布的影响》教学设计

甘肃省会宁县第四中学

梁维高

一、教材分析

本节课是人民教育出版社普通高中数学教科书选修2-3第二章《随机变量及其分布列》中2.4正态分布的第二课时。第一课时学习了高尔顿板试验，正态分布密度函数、正态分布密度曲线以及正态分布在生活中是普遍存在的。

本节课在利用微课复习第一课时的基础上继续研究正态分布密度曲线以及正态分布。主要借助几何画板软件的动态演示，直观地观察正态分布密度函数中参数，对正态曲线以及正态分布的影响，最后解释和验证了3原则，本节课利用数形结合的思想，把信息技术的直观演示和对函数性质的研究结合起来，达到了“知性”的统一，学生学习后影响深刻。因此，本节课与其说是一节新知识的课，还不如说是一节复习和总结课，从“形”的方面进行了直观观察和演示，又从“数”的方面对正态分布密度函数的性质进行了研究。

二、教学目标

（一）知识目标

1.通过几何画板演示认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义；

2.利用几何画板的演示，直观了解，对正态曲线位置和形状的影响；

3.会根据对称性进行简单正态分布的相关概率计算，并能解决一些简单的实际问题。

（二）能力目标

1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题及解决问题的能力。

2.培养学生数形结合、函数与方程等数学思想和方法。

（三）情感目标

通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取精神和科学精神。

三、重点与难点

教学重点：利用信息技术理解正态分布密度曲线的特点，利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

教学难点：正态分布密度曲线的特点。

四、教学过程

（一）情境导入

1

学生通过微课，复习第一课时高尔顿板试验、正态曲线的概念以及正态分布的定义。

（二）新知探究

环节一

引导学生结合三幅图像及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：

(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，图像关于直线x对称；

(3)曲线在x处达峰值1；

2(4)曲线与x轴之间的面积为1；

[师生互动] 引导学生联系正态分布密度函数及其图像，结合高尔顿板试验思考以下问题：

(1)曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x轴不相交？

(2)曲线有没有对称轴？

(3)曲线有没有最高点？坐标是多少？

(4)曲线与x轴围成的面积是多少？

[设计意图]

借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．

环节二

教师通过演示几何画板课件，让学生观察：

第一组：固定的值，在变化过程中观察曲线的位置和形状；

第二组：固定的值，在正实数范围内变化中观察曲线的位置和形状；

[师生互动] 学生通过观察并结合参数与的意义可得：当一定时，曲线随的变化而沿x平移；当一定时，影响了曲线的形状．即：越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．

[设计意图] 针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．

环节三

2

进一步，若XN,2，则对于任何实数a0，

PaXaaafxdx

教师通过几何画板演示，让学生观察：

第一组：固定,a的值，观察在变化过程中正态分布概率的变化；

第二组：固定,a的值，观察在变化过程中正态分布概率的变化；

[师生互动] 学生通过观察几何画板的演示可得：当,a一定时，随着的变化，区间a,a内阴影部分的面积不变，从而概率PaXa不变，即X集中在周围的概率不变；当,a一定时，越小，区间a,a内阴影部分的面积越大，从而概率PaXa越大，说明X集中在周围概率越大，当越大时，区间a,a内阴影部分的面积越小，从而概率PaXa越小，说明X集中在周围概率越小。

[设计意图] 通过让学生对图象和数据的观察和思考，培养学生识图的能力，培养学生从图形中挖掘有效信息，分析问题和解决问题的能力。

环节四

特别地，有：

PX0.6827

P2X20.9545

P3X30.9973

3

[师生互动]

教师利用几何画板演示得到随机变量X落在区间,，2,2，3,3内的概率，引入3原则的内容，并指出，正态总体几乎总取值于区间3,3，而在此区间以外取值的概率只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

[设计意图] 通过直观演示和数据观察，联系前面正态分布广泛存在与自然界和人们的生产生活中，让学生对正态分布更有印象，更有说服力。

（三）应用举例

例1. 把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的．是（

）

A.曲线b仍然是正态曲线；

B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；

C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2；

D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。

[师生互动] 学生通过读题、审题，直接得到本题答案，教师可以作适当点评。

[设计意图] 通过本题，学生熟练掌握两个参数,对正态曲线的影响，加深了两个参数对随机变量均值和集中或分散程度影响。

例2 设随机变量XN2,20，若X在0,2

内取值的概率为0.2，试求：

(1) X在0,4

内取值的概率；

(2) PX4．

解：(1)由于XN2,2，对称轴x2，画出示意图，

∵P0X2P2X4，

∴P0X42P0X220.20.4

111P0X4210.40.3

2[师生互动] 学生通过画图，根据,对正态曲线的影响和正态曲线的对称性解题，教师适当作出点评(2)PX4和指导，最后教师对解题过程作示范板书。

[设计意图] 复习巩固了曲线的对称性，深刻体会了数形结合思想在解题中的重要作用。教会学生规范答题。

4

2例3 某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布N70,10，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的人数占多少？

解：设学生的得分情况为随机变量X，

XN70,102，则70,10.

在60～80之间的学生的比为：

P60X80P7010X70100.6827，

所以不及格的学生的比为PX60即成绩不及格的学生占15.87%. [师生互动] 学生自行解决，教师作适当点拨和指导，

教师通过投屏展示学生解题过程。

[设计意图] PX的概率对于解决本题的重要性，数形结合思想在解题中的应用。

（四）课堂练习

1．三个正态分布N(1,12)(10),N(2,22)(20),N(3,32)(30)的密度函数图象如图，判断1,2,3以及1,2,3的大小，并说明理由。

111P60X80210.68270.1587

2

[师生互动]

学生根据，对正态曲线的影响，比较三个正态曲线直接得出结论。

[设计意图]

巩固利用信息技术研究，对正态曲线的影响。

2.

某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如右图：

182(1) 写出X的分布密度函数；

(2) 求成绩X位于区间52,68的概率是多少？

解：

（1）根据对称轴可知60，根据峰值可知8，代入正态曲线表达式可得：

y

x

2x601fxe82

O 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 128

, 5

（2）P52X68PX0.6826

[师生互动] 学生通过独立思考得出结论，教师通过手机投屏软件展示学生解题过程，并与学生一同给予适当点拨，强调解题过程的规范性。

[设计意图]

强调数形结合思想的重要性，以及，在正态分布中的几何意义。规范解题过程，

（五）课堂小结

1．正态曲线有哪些具体的特点？

2．3σ原则是什么？

3．思想方法：

数形结合思想

（六）课后作业

课本P75页A组第1、2题，B组第2题

五、板书设计

2.4 正态分布

1.概率密度函数

1fxe2

例2 ,x,x222

多媒体屏幕

2.特点

六、设计反思

本节课是正态分布第二课时的内容，重点借助几何画板软件研究μ，σ对正态分布的影响。首先在研究正态曲线的特点时，利用数形结合思想，把正态曲线和密度函数图象结合起来，既考查函数的性质，又直观观察图象，二者优势互补。其次在研究μ，σ对正态曲线的影响时，借助几何画板，直观演示，学生直接得到结论。不足之处有二：一是没有在课堂直接作图象，考虑到本节课的时间仓促，又会冲淡本节课重点；二是学生没有亲历过程，受到客观条件的影响。最后利用几何画板软件演示了3σ原则，对于一个正态分布，它在三个特殊区间上的概率值是定值，且区间越长，概率值越接近于1，3σ原则在实际生产生活中也有体现，这是本节课设计的遗憾之处。

在本节课的设计中，始终体现了学生的主体地位，强调了数学是思维的体操，数学来源于生活且服务于生活。

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