探究与发现 子集的个数有多少课件配套优秀获奖教案

探究与发现--子集的个数有多少（教学设计）

教学分析

探究与发现——子集的个数有多少，是学生学习两个计数原理之后，运用分步乘法计数原理，充分体现数学实际问题的解决，引起学生对数学有关的一些根本性问题的说明和探究，特别是有关猜想性的结论，培养学生对数学问题的不断深入探究和探索发现的精神。

一、知识与技能

1.会运用已学的知识,分步乘法计数原理和分类加法计数原理及二项式定理分别证明n元集n合A的子集个数为2。

n2.借助有限集合的子集个数的求法大胆猜想n元集合A的子集个数为2。

二、过程与方法：

1.通过探究过程，尝试分步乘法计数原理和分类加法计数原理及二项式系数之和知识点，探n讨n元集合A的不同子集个数为2。

2.由有限集合过度到无限集合的推理证明，体现实际问题和数学问题的相互转化。

三、情感态度与价值观：

通过本节的学习与探究，进一步体会数学的运用价值，从而体现了学生的大胆猜想及尝试证明的过程，进一步提高学生敢于提出数学问题，解决数学问题及运用意识，坚定学好数学的信心。

教学重点与难点

教学重点：能区分出n元集合A中的元素与各个子集之间的关系，利用分步乘法计数原理n和加法计数原理及二项式系数之和完成n元集合A不同子集的个数为2的证明。

教学难点：n元集合A的子集在数学问题上的综合运用。

教学过程

教学环节

创

教师活动

学生活动

设计意图

通过知识梳理与回顾，引导学生经历并体会两个计数原理的实际应用

知识梳理与回顾

分步乘法计数原理

若完成一件事情需要n个步骤，在第一步中有m1种不同的方

法，在第二步中有m2种不同的方法，…在第n步方法中有mn

种不同的方法，那么完成这件事情有：N=m1×m2×m3×m4

×……. ×mn

分类加法计数原理

老师引若完成一件事情需要n个步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…在第n步方法中有导学生回忆

mn种不同的方法，那么完成：N=m1+m2+m3+m4+…….+mn

问题题1:n元集合A=a1,a2，K,an的子集有多少个?

活动1老师引导学生探究

设

已知：1元集合A=a1的子集例举法、2个子集

a1，2元集合A=a1，a2的子集例举法、a1、a2、a1,a2

4个子集

3元集合A=a1，a2，a3的子集例举、a1、a2、a3

a1,a2、a1,a3、a2,a3、a1,a2，a3

那么n元集合A=a1、a2、Kan子集的个数2n（猜想）

思考:元素ai(i1、2、3）与各子集的关系？教师提问，

ai属于子集，ai不属于子集

学生讨论交

流，弄清元探究2：素与集合之已知：3元集合A=a1、a2、a3记A1为A的一个子集，间的从属关系，

可以分三步

第1步，a1A1,a1A1有2种可能

第2步，a2A1,a2A1有2种可能

第3步，a3A1,a2A1有2种可能

所以根据分步乘法计数原理，对于3元集合

3A的子集2222个

一般的，我们有：

nn元集合A=a1，a2，K，an的不同子集有2个

证明：要得到集合A的一个子集A1，可以分n个步骤

学生自主证第1步，a1A1,a1A1有2种可能明，思考、交流，并得第2步，a2A1,a2A1有2种可能出结论. LL

第k步，akA1,akA1有2种可能

LL

第n步，anA1,anA1有2种可能

根据分步乘法计数原理，对于由n个元素组成的集

合共有222L2个不同的子集144444424444443老师引导学n个2生回忆

思考:你还能用另外的方法证明上面结论吗？

知识点回顾与梳理

一般的，对于nN

n0n1n1knkknabCaCabLCabLCbnnnn

设a=1,b=1

01kn

即CnCnLCnLCn2n探究1：

通过实例探究2，引导学生经历并体会元素与集合之间的从属关系形成过程，认识有限集合子集的个数与分步乘法计数原理联系

认识无限集合子集的个数与分步乘法计数原理联系

通过知识梳理与回顾，引导学生经历并体会二项式系数的和的实际应用

情

学生自主完显然3元集合A=a1，a2，a3，可以分3类成探究

0第1类，取零个元素有C3

个子集

1

第2类，取1个元素有C3

个子集

第3类，取2个元素有C32

个子集

3第4类，取3个元素有C3

个子集

13

即3元集合A的不同子集个数C30C3C32C323

证明：要得到n元集合A的所以子集个数，可以分n1类学生自主证0第1类，取零个元素有Cn

个子集明，思考、1第2类，取1个元素有Cn

个子集交流，并得2出结论. 第3类，取2个元素有Cn

个子集

LLk1

第k类，取k-1个元素有Cn

个子集

LL

n取n+1类，取n个元素有Cn

个子集

即n元集合A=a1，a2，...，an的不同子集有

01kn

CnCn...Cn...Cn2n个

例1：设n为给定的正整数，数集M{1,2,3…n}的两个子集A，学生独立思B构成一个有序对(A,B) ，记 an为满足A≠B的有序对(A,B)考、讨论、交流后，展的个数，求a2,an

示结论，教解：Q记an为满足AB的有序对（A,B)的个数师给予积极a2n2评价. 2元集合M1,2的不同子集为

,2,1,2

有序对（,1），（,2），（,1,2）

（1，），（1，2），（1,1,2）

（2，），（2，1），（2,1,2）

（1，2，），（1，2，2,2）1），（1，

22a2=C4A2=12探究3：

认识有限集合子集的个数与分类加法计数原理及二项式系数的和的联系

巩固所学知识，生学生对分步乘法计数原理，分类加法计数原理，二项式系数的和及组合数共同证明子集的个数有多少理解和掌握.

ann元集合M1,2,3Ln的不同子集个数为2n22满足AB的有序对（A,B)的个数anC2nA212nn1n2例2：C0n2Cn2Cn2LCn2Cn2Cn2

境

解：Qn元集合A=a1,a2,a3L,an的子集为01knCnCn...Cn...Cn2nn+2元集合A=a1,a2,a3L,an,an1,an2的子集为第1类，取零个元素有第2类，取1个元素有第3类，取2个元素有LLk1第k类，取k-1个元素有Cn20Cn2

个子集1Cn

个子集22Cn2

个子集

个子集

个子集

个子集

个子集LL取n+1类，取n个元素有取n+2类，取n+1个元素有取n+3类，取n+2个元素有nCn2n1Cn2n2Cn212knn1n2n2C0n2Cn2Cn2LCn2+LCn2Cn2Cn22小结：

利用分步乘法计数原理，分类加法计数原理，二项式系数的和及组合数共同证明子集的个数有多少