2.基本不等式名师教学设计

基本不等式的应用

献县三中 赵桂芬

【教学目标】

知识与能力：掌握构建基本不等式的几种常用形式，能用基本不等式解决函数或相关代数式的最值问题；

过程与方法：通过对定理的应用的研究，渗透“转化与化归”的数学思想，培养学生发现问题，分析问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观：在学习和解决问题的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

【教学重点、难点】

重点：能够灵活的把所求代数式变形为基本不等式的形式，并会用基本不等式求其最值

难点：理解定理的使用条件. 拓展点：借助于基本不等式解决恒成立及存在性的问题。

【教学手段】

分组教学，计算机辅助

【教学方法】

发现法，归纳法，讲练结合法；

【教学过程】

一、复习引入：

上节课我们学习了基本不等式及其变形，下面我们一起来回顾这些知识. 请一名学生口答，结合学生的回答，教师用计算机显示下面的答案： 基本不等式

abab，变形（1）求和ab2ab

22ab 变形（2）求积ab

（）21）基本不等式的作用：积定和最小，和定积最大

2）应用基本不等式必须具备的条件：

一“正”（各项皆为正数）、二“定”（和或积为定值）、三“相等”（等号成立的条件）．

3）主要应用于求函数及代数式的最大或最小值。

【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生回答．

今天我们来学习如何使用基本不等式求某些函数或代数式的最值. 板书本节课的课题：基本不等式的应用

二．问题探究

探究（一）.（直接）利用基本不等式求最值

9问题：若 x>0 ,求函数 y=4x+

的最小值。

x提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？使用哪个变形式呢？

解： x>0  y=4x+9924x=12 xx93即x=时，等号成立。即y的

最小值12. x2【设计意图】加深对基本不等式的理解，对下面几种形式凑基本不等式提供了具体的模式。

【设计说明】此问题比较直接，直接请一名学生回答。

探究（二）.（变号）变形后利用基本不等式求最值

9问题：

若 x<0 ,求函数 y=4x+

的最大值。

x提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？哪个条件不符合，如何变形呢？

当且仅当4x=解： x<0，-y=(-4x)+(-99)2（-4x)()=12 xxy-12 93即x=-时，等号成立。即要y的最大值-12. x2【设计意图】在探究（一）的基础上产生的变式，加强学生对“一正”条件的理解。

【设计说明】由于和探究一类似，本题为小组抢答环节。

探究（三）.（配项）变形后利用基本不等式求最值

4x

的最小值. 问题：已知x>3，求y=x3提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？哪个条件不符合，如何变形呢？

4x-3+3 解： x>3， y=x3当且仅当-4x=-4 =+（x-3）+3 2（x3)（4)(x3)+3 =7 x-34=x-3即x=5时，等号成立。即y的最小值是7. x3【设计意图】此问题是

“二定”的条件不符合，意在使学生通过配项达到条件的满足。

【设计说明】先小组讨论，并由学生尝试回答，全体师生给与评判。

探究（四）.（配凑系数）变形后利用基本不等式求最值

当且仅当

3

2提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？哪个条件不符合，如何变形呢？

3解： 0

2112x3-2x2199)==

 y=（2x)(32x)(22248239当且仅当2x=3-2x即x=时，等号成立。即y的最大值是. 84【设计意图】本题是求积的最值

，需要“和定”，如何凑出“和定”是本题的意图。

【设计说明】小组讨论并进行小组抢答，其余小组给与评判和补充.

探究（五）.（乘“1”)变换后利用基本不等式求最值

问题：求函数y=x(3-2x)的最大值,其中00,y>0,且191，求x+y的最小值. xy提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？哪个条件不符合，如何变形呢？

解： x>0,y>0, 191

xy（x+y=（x+y）y9x19）=++106+10=16 xyxy当且仅当y9x19=时，等号成立，又1得x=4,y=12时，x+y的最小值xyxy是16. 【设计意图】本题难度增大，需要用“1”的整体使用才能凑出基本不等式所需条件，在教师指导中学生掌握这种凑法. 【设计说明】师生一起梳理此题的形式特点及其变形的大致途径，共同解决，教师给出解题板书.

探究（六）.（裂项）后利用基本不等式

-2x2x3问题：求函数f(x)=(x>0)的最大值及此时x的值. x提问：此关系式是否符合基本不等式的条件？哪个条件不符合，如何变形呢？

3解：原式变形为 f(x)=1-（2x+）

xx>0 2x+3322x=26

xx

3-(2x+)-26

xf(x)1-26

当且仅当 2x=33，即x2 =时，式中等号成立. x2由于x>0,所以x=6, 26. 2即f(x)的最大值是1-26，此时x=【设计意图】本题从基本不等式所需项数不符合的角度出题，意在使学生明白基本不等式的使用必须是两项与两个因式之间的关系. 【设计说明】师生共同分析哪些条件不符合，师生共同分析出变形途径，由一名学生回答，并由其他学生给与评判.

三、牛刀小试

1.下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？

1已知函数 f(x)x

，求函数的最小值和此时x的取值．

x解：f(x)x1112x2，当且仅当x

即x=1时函数取到最小值2. xxx2.求函数

f(x)=x + 3.若 0

-1) 的最小值. x11 , 求函数

y=x(1-2x) 的最大值. 2114.已知正数 x,y ，且 x+2y=1 ，求

的最小值. xyx2x25.已知 x>1,求y=的

最小值. x1【设计意图】学生通过这几个练习的独立解决达到对以上几种变形方法的巩固，加深了对基本不等式的应用的理解. 【设计说明】小组之间进行比赛,其余小组和老师共同评判并给与相应的指正。同时教师借助多媒体给出正确的解答。

解答：

1. 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．

2. 解：x>-1, x+1>0

f(x)x111(x1)12(x1)11，

x1x1x11即x=0时“=”成立，函数取到最小值1. x113．解: ∵00

2当且仅当x+1=112x(12x)1=

yx(12x)2x(12x)2228当且仅当2x=1-2x,即x=1时“=”成立，

411x=时，函数y=x(1-2x)的最大值是. 8424. 解：x2y1

11112yx2yx(x2y)()332322

xyxyxyxy当且仅当2yx时“=”成立，

xy由于x+2y=1,得x=21,函数取得最小值3+22. x22x13x34(x1)23(x1)45. 解：y==

x1(x1)=(x-1)+443

2(x1)+3=7 x1(x1)4即x=3时“=”成立，y的最小值是7. x-1当且仅当 x-1= 四、课堂总结 观察式子的形式特点

构

造

变号、配项、添系数、裂项、整体“1”的使用

“和”或“积”为定值

五、布置作业（多媒体显示作业题目）

123x的最小值。

x12（2）若x<0,求f(x)=3x的最大值。

x（1）若x>0,求f(x)=（3）已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值。

（4）已知x>2,求x+4的最小值。

x-2(5)已知x>0,y>0,且x+y=1，求的最小值。

六、板书设计

基本不等式的应用

1.（直接）利用基本不等式求最值

（ 2.（变号）变形后利用基本不等式求最值

( 3.（配项）变形后利用基本不等式求最值

（ 4.（配凑系数）变形后利用基本不等式求最值

5.（乘“1”)变换后利用基本不等式求最值

6.（裂项）后利用基本不等式

七、教学反思

4x9y在本节课的教学过程中，仍应强调基本不等式应用过程中知识的实质，通过具体问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所解决问题形式的多变性，从而激发学生去探索数学、研究数学的兴趣.在解决问题的过程中，既要求学生能用灵活的头脑去思考问题，又需要严谨准确的思路去解决.本节课的研究既是对上节课知识的应用，又是对不同形式问题求最值的方法上的总结，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期艰苦的任务，这一点在本节课真正得到了体现和落实.