一 比较法主要内容及教案内容

第二节

不等式的证明

[基础知识填充]

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b定理2：如果a，b为正数，则2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

na＋b＋c33≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等2．不等式证明的方法

(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

名称

作差比较法

a＞b⇔a－b＞0

理论依据

a＜b⇔a－b＜0 a＝b⇔a－b＝0

[基本能力自测]

111．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋a，y＝b＋b，则x与y的大小关系是(

)

作商比较法

ab＞0，b＞1⇒a＞b

ab＜0，b＞1⇒a＜b

A．x＞y

C．x≥y

11A

[x－y＝a＋a－b＋b

b－aa－bab－1＝a－b＋ab＝. ab由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，

B．x＜y

D．x≤y

1

所以a－bab－1＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] ab2．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．

M≥N

[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2B．] 113．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则a＋b的最小值是________.

3

[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，

1111ba

∴a＋b＝a＋b(a＋b)＝2＋a＋b



≥2＋2

baa·b＝4，

1当且仅当a＝b＝2时等号成立．]

已知a＞0，b＞0，求证：ab＋≥a＋b. baba＋－(a＋b)

[证明]

法一：∵ababa－bb－a

＝－b＋－a＝＋

babaa－ba－ba＋ba－b2

＝＝≥0，

abab

∴ab＋≥a＋b. ba

10分

ab＋baaa＋bb

法二：由于＝

a＋baba＋b

＝a＋ba－ab＋b

aba＋b

2

＝a＋b－1 ab

8分

2ab

≥－1＝1. ab

又a＞0，b＞0，ab＞0，

∴ab＋≥a＋b. ba

10分

[规律方法]

1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利a用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明b＞1(b＞0)．

2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．

提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号．

[变式训练1]

(2018·长沙模拟)设a，b是非负实数，

求证：a2＋b2≥ab(a＋b)．

[证明]

因为a2＋b2－ab(a＋b)

＝(a2－aab)＋(b2－bab)

＝aa(a－b)＋bb(b－a)

＝(a－b)(aa－bb) 3113

＝a2－b2a2－b2. 

6分

3311a－b

因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a2－b2与223113同号，所以(a2－b2)a2－b2≥0，



所以a2＋b2≥ab(a＋b).

10分

3