二 一般形式的柯西不等式教学实录与评析

一般形式的柯西不等式

西安高新第一中学 姚

攀

学习目标：

1. 认识一般柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 初步掌握二维形式的柯西不等式的证明，会用一般柯西不等式解决一些简单问题；

3. 体会运用经典不等式的一般方法

——

发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系。

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一. 复习引入

定理1（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(ab)(cd)(acbd)22222，当且仅当adbc时，等号成立。

定理2（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则|α||β||αβ|，当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时，等号成立。

从平面向量几何背景出发，将平面向量的坐标代入，化简后得到二维形式的柯西不等式。

(a1a2)(b1b2)(a1b1a2b2)22222

当且仅当a1b2a2b1时，等号成立. 类似的，从空间向量几何背景出发，将空间向量坐标代入，化简得

1

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2222222

①

当且仅当，b1b2b30，或存在一个实数k，使得ai时，kbi（i1,2,3）等号成立.

①式称为三维形式的柯西不等式。

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)

2222222②

如何证明上述猜想：

分析：由于不等式②中括号内含较多的项，直接展开并比较左右比较麻烦，我们采用下面的证明. 如果设A22a1a2an2222，Ba1b1a2b2anbn，B2Cb1b2bn，那么，不等式②就是：AC）的判别式4B24AC,正好与二次函数yAx22BxC（A0密切相关。从而启发我们构造二次函数，并通过讨论相应的判别式来证明不等式. 证明：当a1a2an0或b1b2bn022时，②式显然成立. 2设a1,a2,,an中至少有一个不为0，则a1考虑到二次函数

f(x)(a1a2an)x2222a2an0。

2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2bn)222

(a1xb1)(a2xb2)(anxbn)2220

所以二次函数f(x)的判别式202，即：

222224(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)0

2于是：(a1当且仅当2a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)

22222f(x)有唯一零点时，判别式00，以上不等式取等号。此时，有唯一实数x，使得aixbi若x0，(i1,2,,n)

，则有ai1xbi，则b1b2bn0，②式成立；若x0。

2

定理3（柯西不等式的一般形式）设a1,a2,a3,,an，b1,b2,b3,,bn是实数，则

(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)2222222

）时，当且仅当bi0（i1,2,,n）或存在一个数k，使aikbi（i1,2,,n等号成立。

二. 应用举例

例1

已知x分析：由x（12222y3z1，求x22y22z22的最小值. 2y3z1以及x2yz的形式，联系柯西不等式，可以通过构造3）作为一个因式而解决问题. 2222222解：根据柯西不等式，有

(xyz)(123)(x2y3z)1

所以

xx1y2z31142y2z2114314

当且仅当，即x，y17，z时，x2y2z2取最小值114。

例2

已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明

a2b2c2d2abbccdda

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母的排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

证明：根据柯西不等式，有

(a222222222bcd)(bcda)(abbccdda)

因为a,b,c,d是不全相等的正数，所以，不存在实数k，

使得等式

abbccddak

成立，所以

(a2bcd)22222(abbccdda)2

即

ab2c2d2abbccdda

例3

已知a1,a2,,an都是实数，求证：

1n(a1a2an)2a1a2an222

3

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式，这就引出了证明的思路。

证明：根据柯西不等式，有

(111)(a1a2an)(1a11a21an)2222222

所以，n(a12a2an)(a1a2an)222

2即

三. 课堂小结

1n(a1a2an)2a1a2an22

1. 一般形式的柯西不等式的内容；

2. 一般形式的柯西不等式的应用；

对于许多不等式问题，用柯西不等式解往往是简明的。掌握柯西不等式的结构特点，就可以灵活应用. 3. 从数学思想、方法角度：函数思想、方程思想、

类比推理法、归纳猜想法等. 四. 课后作业

课本P41，1-5题.

4