2.基本不等式第二课时教案

2.基本不等式

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点) 3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)

[基础·初探] 教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

阅读教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列问题．

1．两个定理

定理

定理1

定理2

内容

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)

a＋b2≥ab(a，b＞0)

等号成立的条件

当且仅当a＝b时，等号成立

当且仅当a＝b时，等号成立

2.算术平均与几何平均

a＋b如果a，b都是正数，我们称2为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．

下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则2≥ab；

②若x∈R，则x2＋2＋③若x∈R，则x2＋1＋1≥2；

x＋221≥2；

x2＋11

a＋b④若a，b为正实数，则2≥ab. A．0

B．1

C．2

D.3 【解析】

显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝1＋2＋2＞2成立，故②正确；

x＋2④不正确，如a＝1，b＝4.

【答案】

C 教材整理2

利用基本不等式求最值

阅读教材P6～P8，完成下列问题．

已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P；

S2(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值4.

12若x≠0，则f(x)＝2－3x2－x2的最大值是________，取得最值时x的值是________.

4【解析】

f(x)＝2－3x2＋x2≤2－3×4＝－10，

4当且仅当x2＝x2，即x＝±2时取等号．

【答案】

－10

±2 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

2

1无解，但x22x＋2

[小组合作型] 利用基本不等式证明不等式

a2b2c2

已知a，b，c都是正数，求证：b＋c＋a≥a＋b＋c. 【精彩点拨】

观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

【自主解答】

∵a>0，b>0，c>0，

a2∴b＋b≥2 a2b＝2a，

b·b2c2同理：c＋c≥2b，a＋a≥2c.

三式相加得：

a2b2c2b＋c＋a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，

a2b2c2∴b＋c＋a≥a＋b＋c.

1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．

2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

[再练一题] xyz1111．已知x，y，z均为正数，求证：yz＋zx＋xy≥x＋y＋z. 【证明】

∵x，y，z都是正数，

xy1xy2∴yz＋zx＝zy＋x≥z.

yz2zx2同理可得zx＋xy≥x，xy＋yz≥y.

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

3

xyz111得yz＋zx＋xy≥x＋y＋z. 利用基本不等式求最值

y2

设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则xz的最小值为________．

y2【精彩点拨】

由条件表示y，代入到xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．

x＋3z【自主解答】

由x－2y＋3z＝0，得y＝2，

22y2x＋9z＋6xz1x9z∴xz＝＝4z＋x＋6

4xz1≥42x9z＝3.

·＋6zxy2当且仅当x＝y＝3z时，xz取得最小值3.

【答案】

3

1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．

2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．

[再练一题] 192．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，试求x＋y的最小值.

19【解】

∵x>0，y>0，且x＋y＝1，

19∴x＋y＝(x＋y)x＋y

y9x＝x＋y＋10≥2

y9xx·y＋10＝16.

4

y9x当且仅当x＝y，即y＝3x时等号成立．

19又x＋y＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 基本不等式的实际应用

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

【精彩点拨】

(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．

【自主解答】

(1)由题意可设3－x＝将t＝0，x＝1代入，得k＝2.

∴x＝3－2.

t＋1k(k＞0)，

t＋12当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×3－t＋1＋3.

当销售x万件时，年销售收入为

21150%×32×3－t＋1＋3＋2t.

由题意，生产x万件化妆品正好销完，

5

－t2＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2t＋1－t2＋98t＋35t＋132

(2)y＝＝50－2＋t＋12t＋1≤50－2t＋1322×t＋1＝50－216＝42，

t＋132当且仅当2＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

t＋1∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

建立定义域设出变量――→数学模型――→

“＝”成利用均值不等式求最值――――→结论

立的条件

[再练一题] 3．如图1-1-1所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?

图1-1-1 k【解】

法一

设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝ab，其中k为比例系数(k>0)．根据题意，得

2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，

∴b＝30－a(由a>0，b>0，可得a<30)．

2＋akk∴y＝ab＝.

30a－a22＋a6

令t＝a＋2，则a＝t－2.

30a－a230t－2－t－2234t－t2－6464t＋t，

从而＝＝＝34－tt2＋akk∴y＝≥ab34－2 k＝.

6418t·t6464当且仅当t＝t，即a＋2＝时，取“＝”，∴a＝6.

a＋2由a＝6，可得b＝3.

综上所述：当a＝6 m，b＝3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．

k法二

设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝ab，其中k为比例系数(k>0)．要求y的最小值必须先求出ab的最大值．

依题设4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a>0，b>0)．

∵a＋2b≥22ab(当且仅当a＝2b时取“＝”)，

∴ab＋22ab≤30，可解得0

由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3，

即a＝6，b＝3时，ab取得最大值，从而y的值最小．

[探究共研型] 基本不等式的理解与判定

a＋b探究1

在基本不等式2≥ab中，为什么要求a>0，b>0? a＋b【提示】

对于不等式2≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．

a＋b探究2

利用2≥ab求最值的条件是怎样的？

【提示】

利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．

7

探究3

你能给出基本不等式的几何解释吗？

【提示】

如图，以a＋b为直径的圆中，DC＝ab，且DC⊥AB.

a＋b因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为2，根据半弦长不大于半径，a＋b得不等式ab≤2.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．

11

命题：①任意x>0，lg

x＋lg x≥2；②任意x∈R，ax＋ax≥2；③任π11意x∈0，2，tan x＋tan x≥2；④任意x∈R，sin x＋sin x≥2. 其中真命题有(

) A．③

C．②③

B．③④

D.①②③④

【精彩点拨】

按基本不等式成立的条件进行判定．

【自主解答】

在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定lg x>0与sin x>0.因此①④是假命题；

1在②中，a>0，a＋ax≥2xx1a·ax＝2，当且仅当x＝0时，取等号，则②是x真命题；

π1π在③中，当x∈0，2时，tan x>0，有tan x＋≥2，且x＝时取等号，tan x4∴③是真命题．

【答案】

C

1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理a＋b2中，“a＝b”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)28

≥ab是a2＋b2≥2ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，a＋b后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是2≥ab的充分不必要条件；a，b为实数是a2＋b2≥2ab的充要条件．

a＋b2ab2．当b≥a>0时，有变形不等式a≤≤ab≤2≤

a＋b

[再练一题] 4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

)

A．a2＋b2>2ab

112C.a＋b>

abB．a＋b≥2ab

baD.a＋b≥2 a2＋b22≤b. 【解析】

A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；

112当a<0，b<0时，a＋b<0<2ab，a＋b<0<，则排除B，C选项；D选项abbaba中，由ab>0，则a>0，b>0，∴a＋b≥2所以选D.

【答案】

D [构建·体系] baa·b＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，—定理的理解—证明不等式基本不等式——求最值—实际应用

1．下列结论中不正确的是(

) 1A．a＞0时，a＋a≥2 baB.a＋b≥2 9

C．a＋b≥2ab

22a＋b2D.a＋b≥2

22【解析】

选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－a＋b2ba2ab≥0，∴a＋b≥2成立；而选项B中，a＋b≥2不成立，因为若ab＜0，22则不满足不等式成立的条件．

【答案】

B 2．下列各式中，最小值等于2的是(

) xyA.＋

yx1C．tan θ＋tan θ

x2＋5B.2

x＋4D.2x＋2－x

【解析】

∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥22x·2－x＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．故选D.

【答案】

D 533．已知x＋y＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(

) A．15

C．60 53【解析】

∵x＋y≥2∴2B．6 D.1 15xy(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，

15xy≤1，∴xy≥60，

故xy的最小值为60.

【答案】

C 114．已知lg x＋lg y＝2，则x＋y的最小值为______．

【解析】

∵lg x＋lg y＝2，

∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，

11∴x＋y≥21【答案】

5

10

11xy＝5，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

5．已知a，b是正数，求证：

(1)a2＋b2a＋b2≥2；

211a＋b. (2)ab≥【证明】

(1)左边＝＝右边，原不等式成立．

(2)右边＝121≤221aba2＋b2＋a2＋b2≥4a2＋b2＋2ab＝4a＋b2a＋b4＝2＝ab＝左边，

a＋b原不等式成立．

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

学业分层测评（二）

(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题

1．函数f(x)＝x的最大值为(

) x＋1212A.5

B.2

C.2

D．1 【解析】

显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；

1当x>0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤2，

当且仅当x＝1时，等号成立，

11

1∴f(x)max＝2.

【答案】

B 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(

) a＋bA．a＜b＜ab＜2

a＋bB．a＜ab＜2＜b

a＋bC．a＜ab＜b＜2

a＋bD.ab＜a＜2＜b

a＋b【解析】

取特殊值法．取a＝2，b＝8，则ab＝4，＝5，所以a＜ab2a＋b＜2＜b.故选B.

【答案】

B x2－4x＋553．已知x≥2，则f(x)＝有(

) 2x－45A．最大值为4

C．最大值为1 51【解析】

∵x≥2，∴x－2≥2，

x－22＋111∴f(x)＝＝2(x－2)＋≥

2x－22x－22x－2x－211·＝1，当且仅当＝，

22x－222x－25B．最小值为4

D.最小值为1 即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.

【答案】

D a＋b24．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则cd的最小值是(

) A．0 B．1 12

C．2 D.4 【解析】

由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，

∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，

a＋b2∴cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．

【答案】

D 5．已知a，b是不相等的正数，x＝A．x>y

C．x>2y

a＋b，y＝a＋b，则x，y的关系是(

) 2B．y>x

D.y>2x

a＋ba＋ba＋b【解析】

因为a，b是不相等的正数，所以x2＝2＋ab<2＋2＝a＋b＝y2，即x2

【答案】

B 二、填空题

6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.

x＋y23【解析】

x＋y＋xy＝(x＋y)－xy≥(x＋y)－＝(x＋y)2，∴(x＋442222422y)2≤3，∴|x＋y|≤33，即x＋y的最大值为33. 2【答案】

33 xy7．已知x，y∈R＋，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为________．

【解析】

因为x＞0，y＞0，

xy所以3＋4≥2【答案】

3 8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

【解析】

∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，

∴(am＋bn)(bm＋an)

＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2

13

xy3·4＝xy3，即xy3≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.

＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)

≥2ab·mn＋2(a2＋b2)

＝4ab＋2(a2＋b2)

＝2(a2＋b2＋2ab)

＝2(a＋b)2＝2，

当且仅当m＝n＝2时，取“＝”，

∴所求最小值为2. 【答案】

2 三、解答题

ab9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，x＋y＝1，x＋y的最小值为18，求a，b. ab【解】

∵x＋y＝(x＋y)x＋y

bxay＝a＋b＋y＋x≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，

bxay当且仅当y＝x时取等号．

又(x＋y)min＝(a＋b)2＝18，

即a＋b＋2ab＝18. 又a＋b＝10，

a＝2，a＝8，由①②可得或

b＝8b＝2.2x2x223x110．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：x＋x＋x≥1. 123①

②

x2x2x223122【证明】

∵x＋x1＋x＋x2＋x＋x3≥2x22＋2x3＋2x1＝2(x1＋x2＋x3)＝1232，

2x2x223x1∴x＋x＋x≥1. 123[能力提升] 1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(

) A．40

B．10 14

C．4 D.2 x＋4y【解析】

因为x，y∈R＋，∴4xy≤2，

x＋4y∴xy≤4＝10，∴xy≤100.

∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.

【答案】

D 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(

) A．5千米处

C．3千米处

20【解析】

由已知：y1＝x，

y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．

20费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋x

≥2200.8x·x＝8.

B．4千米处

D.2千米处

20当且仅当0.8x＝x，

即x＝5时等号成立．

【答案】

A 3＋x＋x23．y＝(x＞0)的最小值是________．

x＋13＋x＋x23【解析】

∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥23－1.

x＋1x＋1当且仅当x＋1＝3时取等号．

【答案】

23－1 4．若对任意x>0，x≤a恒成立，求实数a的取值范围.

x2＋3x＋1【解】

由x>0，知原不等式等价于

15

21x＋3x＋110

1又x>0时，x＋x≥21x·x＝2，

1∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．

x因此x＋1x＋3min＝5，

从而0<15，解得a≥1a≤5.

故实数a的取值范围为15，＋∞. 16