2.基本不等式第二课时教学实录

基本不等式

授课教师： 王志群

【教学目标】

1. 知识与技能：理解并掌握基本不等式，理解基本不等式abab的几何意义，并掌握不等式2abab取等号的条件是：当且仅当“a=b”；能初步运用基本不等式解决一些求最值2的问题。

2. 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，从中领悟不等式证明的方法；

3. 情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；

【学习重难点】

重点：基本不等式abab的推导及应用。

2难点：理解“当且仅当ab时取等号”

的意义。

【教学过程】

一、情境引入，激发兴趣

问题1 你会比较下列各数的大小吗？

1275（1）

2

；

（2）

35

；

2213553（3）22

；

（4）

5

；

222二、自主探究，体验过程

问题2 观察上式的特点，你能否猜想出什么一般性的结论？

(教师引导学生观察几组不等式的结构特点,由学生猜想出基本不等式，并且引导学生注意前提是a，b均为正数，而且当且仅当a=b时取“=”。) 问题3 尝试用不同方法证明你的猜想。

（学生分组从几何解释和代数证明两个角度来证明猜想。）

几何角度：利用课前准备的两个面积分别为a、b的正方形，将它们沿对角线对折后，再沿斜边拼接，探究两个直角三角形的面积与矩形面积间的关系（如图1）。

图1 （学生自己动手操作，在几何图形中感悟不等关系，并理解不等式中等号取得的实际意义．）

代数角度：运用不等式证明的基本方法进行证明。

三、教师精讲，领悟方法

1. 教师精讲如何由重要不等式a2b22ab得出基本不等式ab2aba,b0。

u20→xy0→x2y22xy→以a，b代换x2，y2→ab2aba,b0

2（渗透数学证明的公理化思想, 指导学生多角度认识事物的本质特征。让学生从中领悟“换元法”，明确知识之间的联系。）

2. 归纳得出重要不等式：a2b22ab

3. 引导学生深入认识基本不等式，并且掌握其变形形式。

四、典例剖析，应用知识

例1 （1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

归纳小结：应用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等。

五、练习巩固，深化认识

巩固练习：

1.已知两个正数a,b的积等于36,则当a=____,b=____时,它们的和最小,最小值等于___？

2.已知两个正数a,b的和等于18,则 当a=__ ,b=__时,它们的积最大,最大值等于___？

变式练习：

如图2，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，

问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

强化练习：

下列各式中，用基本不等式可以得到最小值为4的是

①yx441(0x)；③y8x(x0)

；②ysinxxsinx22x图

2 六、实际问题探究，活用知识

例2、某居民小区要建一座八边形的休闲场所, 它的主体结构平面图如图所示是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域, 计划在正方形MNPQ上建一座花坛, 造价为每平方米4200元, 在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪, 造价为每平方米210元, 再在四个空间(图中四个三角形)上铺草坪, 造价为每平方米80元.

(1)设总造价为S元, AD为x米, 试建立S关于x的函数关系式。

(2)当x为何值时, S最小？并求出这个最小值。

七、反思总结，整合新知

（1）一种方法：换元法。

（2）两个不等式：（1）重要不等式：ab2ab；（2）基本不等式：ab（3）三个注意：运用基本不等式求最值要注意：“一正二定三相等”。

22ab。

2八、布置作业

课本第10页，习题第5、9题

九、课外提升

aba2b2我们已经知道了的ab，大小关系，那么它们与的大小关系如何？先猜猜，再试22着证证，想想能否也用几何图形对它加以解释！