2.2.2 反证法优秀教学设计

2.2.2 反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程: 一.新课引入

故事1：路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

王戎是怎么知道李子是苦的呢?运

用了怎样的推理方法? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 故事2：

南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生

：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”

实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事

物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

故事3：

三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也。”

通过上面三个例子引出新课——反证法。

二、讲授新课

（1）反证法定义：先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．

（2）写出下列结论的反面情况：

a∥b；

AB=CD；

x是负数；

a>b；

∠A是锐角；

三角形的外角中，至少有两个钝角. 三角形中最多有一个角是直角. （3）常见的结论否定的形式：

原词语

否定词

等于

是

都是

大于

小于

对所有x,

成立

（4）试一试

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设结论不成立，即：∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,∠C ___ 60°,则∠A+∠B+∠C＞180 °.这与_____________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立. 练习：

对任何x，不成立

原词语

任意的

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

否定词

用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60 °

已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图）

求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角

大于或等于60 °

证明：假设所求的结论不成立，即∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠C __60 °则∠A+∠B+∠C＜180 °这与______________________相矛盾，所以______不成立，所求证的结论成立。

三．例题讲解

例1：如果ab0,则ab.

习题：l.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.

例2：求证2是无理数. 归纳总结：反证法的步骤

分清条件和结论→

先假设命题不成立→从假设出发，经过推理→ 得出矛盾→

假设不成立。

四．巩固练习

1、试说出下列命题的反面：

（1）a是实数。

（2)a大于2。

（3）a小于2。

（4）至少有2个

（5）最多有一个

（6）两条直线平行。

2、用反证法证明“若a2≠

b2,则a ≠

b”的第一步是( )。

3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步( ). 五．全课总结

1、知识小结：

反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论。

2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。

六．反思与收获

德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。

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