3.三个正数的算术-几何平均不等式主要内容及教案内容

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式

同步练习

11．函数y＝x(1－5x)(0≤x≤5)的最大值是(

) 2245A．4 B.15 C.675 D.2

答案：C

92．若x>0，则4x＋x2的最小值是 (

) A．9 B．3336 C．13 D．不存在

答案：B

abcbca3．已知a.b.c∈R则(b＋c＋a)(a＋b＋c)≥________.

＋

答案：9

4．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值是________．

答案：4

5．已知a，b，c为正数，求证：

222(a＋b＋c)(

a＋b＋c)≥9abc.

证明：∵a，b，c为正数，

222222∴a＋b＋c≥33abc，a＋b＋c≥33abc

222222∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥33abc×33abc

222＝93abc×abc. 222∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥9abc，

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

6．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(

) A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C

47．求函数y＝3x＋x2(x>0)的最值．

解析：∵x>0，

3x3x43x33x3x432∴y＝3x＋x2＝2＋2＋x2≥32×2×x＝39.当且仅当2＝43x423922＝x，即x＝3时取符号．

239∴当x＝3时，函数y的最小值为339.

8．θ为锐角，求y＝sin

θ·cos2θ的最大值．

分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2θ＋cos2θ＝1的应用．

解析：∵y2＝sin2θcos2θcos2θ

1

＝2×2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ) 124 ≤2(3)3＝27. 223当且仅当2sinθ＝1－sinθ，即sin

θ＝3时取等号．

23∴ymax＝9.

9．已知正数a，b满足ab2＝1，求a＋b的最小值．

解析：因为a，

b是正数，ab2＝1，

bb3ab23所以a＋b＝a＋2＋2≥34＝232. 3故a＋b的最小值是232，

b当且仅当a＝2，

2ab＝1，

即b＝321a＝232，

22时取到最小值．

1112610．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋＋＋abc≥3，2并确定a，b，c为何值时，等号成立．

证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得

2a＋b＋c≥3(abc)3，①

2221111a＋b＋c≥3(abc)－3，

11122＋＋所以abc≥9(abc)－3.②

111222222故a＋b＋c＋a＋b＋c≥3(abc)3＋9(abc)－3. 22又3(abc)3＋9(abc)－3≥227＝63，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

22当且仅当3(abc)3＝9(abc)－3时，③式等号成立．

1故当且仅当a＝b＝c＝34时，原不等式等号成立．

11．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1

m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3

m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？

分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．

解析：设OO1为x

m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为3－x－2223＝8＋2x－x，于是底面正六边形的面积为6×4×2332(8＋2x－x)＝2(8＋2x－x)，帐篷的体积为

21332V(x)＝2(8＋2x－x)·3x－＋1

3

＝2(4－x)(x＋2)(x＋2) 3

＝4(8－2x)(x＋2)(x＋2) 3

≤4－2x＋x＋3＋x＋3

3

＝4×64

＝163. 当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．

故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2

m时帐篷的体积最大，2其值为163 m.