1.3 二项式定理（通用）第二课时教案

《二项式定理》教学设计

淮南二中——王丽

一、教学目标：

1.知识与技能： （1）能利用计数原理证明二项式定理. （2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨，感受中国辉煌的数学史. 二、教学重点、难点

1、重点：探究并归纳用计数原理分析的展开式的形成过程，并依此方法推导得到二项式定理．

2、难点：①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？ 三、教学过程

1.引入加推导：

牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题--二项式定理。

今天，就让我们沿着牛顿的足迹，重温他探究和发现二项式定理的过程。那么，牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？

提出问题：

ab?

2再问：(ab)3?

那么(ab)3为什么等于a33a2b3ab2b3？

我们知道，(ab)3(ab)(ab)(ab)．根据乘法原理，知道展开式共8项，通过合并同类项，得到a33a2b3ab2b3。从另外一个角度，展开式的每一项，都是从每个括号里任取一个字母相乘而得，因此各项都是三次式。为了得到a3，从三个因式（a+b）中都不选b，都选了a；为了得到a2b项，需要从一个因式（a+b）中选一个出b，另两个因式自然选a；为了得到ab2，从两个因式（a+b）中选了b，另一个因式选a，为了得到b3，从三个因式（a+b）中都选b。

问：能不能用前面所学过的知识，说明这四个系数是怎么得来的吗？

1

0a3的系数，从三个因式（a+b）中都不取b的取法有C3

1a2b的系数，从三个因式（a+b）其中一个因式取出一个b的取法有C3；

ab2的系数，从三个因式（a+b）其中两个取出两个b的取法有C32

3b3的系数，从三个因式（a+b）中都选b的取法有C3

0312233于是，有ab(ab)(ab)(ab)C3aC3abC3ab2C3b

3问：这种展开式和刚才的结果相等吗？

注意：我们在写展开式的时候，为了便于发现规律，我们以某一项的升幂排序，习惯上，我们以b的升幂排序。每一项的系数即组合数，它的上标随着b的次数增大而增大。

刚才同学们运用计数原理，分析了展开式中项的类型和项的系数，发现某些规律，下面，按照这种规律，你能写出(ab)4的展开式么？

问：abababab展开式中会出现哪些项？

(ab)4@@a4@@a3b@@a2b2@@ab3@@b4

问：每一项前面的系数各是什么？

则可以推导得到

0413222344(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4ba44a3b6a2b24ab3b4

根据这样的规律，下面我们来一起探讨(ab)n的展开式。

分析：

①展开式中会有哪几种类型的项？

②展开式中各项的系数是多少？

先来说明第①点。(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个b，最多取n个b，因此，k=0, 1, …, n;

再来解释第②点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到的,kk而共有Cn种取法，该项的系数就是Cn，这样就得到了它的展开式。

0n1n12n223n33rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnabCnb，nN*

上述公式所表示的定理叫做二项式定理，这就是牛顿的重大研究成果。

注意：左边（ab)n这个式子叫二项式，右边多项式叫做（ab)n的二项展

2

开式。定理中的a、b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子，只要是两项相加的n次幂，就能运用二项式定理展开。

2、通项、展开式的二项式系数与系数；

（a）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？

（1）项数：有n+1项

（2）次数：a降幂排序，次数由n递减到0 ; b升幂排序，次数由0递增到n; 各项的次数都为n等于二项式的次数。

（b）二项式展开式中哪一项最有代表性？

rnrr答:Cnab；

rnrr问：那么Cnab是展开式的第几项？

应该是第r1项，其中r0,1,2,3,,n。

rnrr我们它叫做二项展开式的通项，即Tr1Cnab，

（抓住公式的特征，通项公式中，Tr+1是项的标志，注意其下标是r+1而非r；右边的二项式系数是个组合数，其下标是n，上标是r，上标比Tr+1的下标小1；右边a与b的指数和为n，且a

的指数是n－r，b的指数是r．）

r（c）展开式中那些组合数Cn(r＝0，1，2，…n)称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？

下面我们先来看一个题：

12x例、已知二项式求：

x， （1）展开式的第3项二项式系数是多少？

（2）展开式的第3项系数是多少？

（3）求展开式的常数项。

6法一：（直接展开），上面公式里a用2x代替，上面公式里b用(12x

x61x)代替，则=

3

0C62x643211111234C62xC2xC2xC2x666xxxx5562341156C62xC6xx=64x3192x2240x16060121

xx2x32C6组合数为第三项的二项式系数，240为第三项的系数，常数项为-160 那么请同学们想一想有没有简便的方法呢？

法二：（先化简，再展开）：

2x111601216322x(2x1)64x192x240x16023

=3xxxxxx2C6组合数为第三项的二项式系数，240为第三项的系数，常数项为-160 66

还有没有其他的方法呢？

（直接展开计算量较大，利用通项公式来解）、rTr1C6(2x)6r(1xr6r)rC62(1)r(x)62r

T3T211C2x240x

x2642令62r0,r3

33则常数项为T4T31C62160

显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a、b无关。

下面我们再来看一个练习。

1x已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，

42xn

求二项式展开式所有有理项的二项式系数和；

解：先写出通项：Tr111r44rC8r(x)8r

C8x422xrr31112,Cn成等差数列，

前三项的系数为1，Cn24

4

121Cn1Cn,n29n80,n8,n1（舍）

43依题：4rZ，r一定是4的倍数（0r8），r0,4,8

408所有有理项为T1,T5,T9，所有有理项的二项式系数和为C8C84C872 二项展开式的通项公式，其中含有a，b，n，r，T五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个．

（备选练习）

在二项式(x1)11的展开式中，系数最小的项的系数是多少

分析：先写出通项，并注意符号。

解：Tr1C11x11r(1)r

则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r5，

要使项的系数最小，则最小项的系数为C11(1)5462

四、课堂小结

0n1n1knkknn1.二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

5rr2.思想方法：（1）.归纳、猜想、证明的数学方法. （2）用计数原理分析二项式的展开过程. 五、课堂作业

课本36页练习1.2.3.

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