3.三个正数的算术-几何平均不等式教学教案设计

《三个正数的算术--几何平均数》教学设计

课题: 三个正数的算术-几何平均不等式

教师：

金沙县第一中学 刘寒

一、教材分析

《三个正数的算术-几何平均不等式》出自人教A版选修4-5第1章第1节第3小节。本节内容是两个正数的算术-几何平均不等式的延伸扩展，对学生思维以及类比学习能力的锻炼有着极其重要的作用，在一些特定函数的最大(小)值问题、实际生活中的最值问题都有广泛的运用。

二、学情分析

本节课授课对象为c层次理科班级，理论知识理解稍慢，但是在长期的锻炼培养下，同学们学习数学热情高，小组讨论积极，能自主举例子加深对理论知识的理解。所以本次课设计了自主小课堂，让同学们多次讨论定理在不同情况下的运用。其二是在这个利欲熏心的时代，越来越多的人为了利益迷失本性，所以本次课一开始就引入了一个数学史上的“等周问题”，引导学生们学以致用、走向真善美。

三、教学目标

知识技能目标

1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程。

2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值。

3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题。

过程性目标

通过类比两个正数的算术-几何平均不等式，引入三个正数的算术-几何平均不等式；通过示错，过渡到对问题的正确解法；通过自主小课堂，同学们合作探究，自主举例子，小组之间相互挑战，加深对本节课内容的理解及运用。通过瑜伽式教学，让同学们在轻松愉悦间整体把握本节课内容。

情感、态度、价值观目标

本节课引导学生们学以致用、造福社会、走向真善美；学会与人合作交流、乐于探究，体验成功的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。

四、教学重点

会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

教学难点

1

会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

五、教学方法

启发引导式教学、示错法教学

六、教学过程

（一）导入新课

数学史“等周问题”：公元5世纪古希腊哲学家普罗克拉斯（Proclus,412--485）曾提到，过去有人通过周长来推断城市的大小，而在他所生活的时代，有人在分配土地时，采用周长相等来分配，分配土地的人还被认为是“大公无私”的。

请同学们分析：按周长分配是否真的“大公无私”？

引例1：已知一块长方形土地的周长为定值4，试问这个长方形的长、宽各是多少时，它的面积最大，求出这个最大值．

引例2：已知一块长方体的蛋糕棱长之和为定值12，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

【设计意图】由数学史“均值不等式等周问题”引入新课，通过再现古人的错误来激发学生的学习动机，并借此对学生进行德育教育；由引例1、2这样具体的数学几何问题入手，不是纯知识点的复习，但是能让学生自觉地复习基本不等式的相关知识，并且能自然而然引入新课，引起学生研究此节内容的兴趣。

（二）讲授新课

类比基本不等式的形式，猜想：如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3

3abc，

当且仅当

时，等号成立．

证明此猜想，得到定理3 a＋b＋c3定理3：如果a，b，c∈R＋，那么

abc，当且仅当

时，等号成立．

3即三个正数的算术平均

它们的几何平均．

【设计意图】梳理课本知识，检验学生预习效果。

（三）问题解决

（1）解决引例2 （2）自主小课堂：证明简单的不等式

【设计意图】此环节由学生构造简单的三个正数的算术-几何平均不等式问题并求解，让学生初步体会定理3的运用。

（3）例题研究

例1：求函数y2x24(x0)的最小值。

x解一：y2x24422x242x

xx2

当2x24即x32时，ymin4232434

x2解二：

y2x413132x2332x2336∴ymin336

xxxxx上述两种做法是否正确？不正确的话原因是什么？正确解法是什么？

【设计意图】此环节由学生判断解法是否正确，其实这两种错误是学生在解题过程中经常出现的问题，由学生亲自诊断问题所在，学生在之后运用时就会注意的，而且也引导学生思索问题的正解，从而让学生领会问题的本质。

例1变式

自主小课堂：由学生分组讨论，举一些积定和最小的例子：_____________________ 并由其他组学生解答

并总结在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________

【设计意图】此环节由学生结合自己对例1的理解，提出问题并解答问题，在加深对知识理解的同时，也提升学生解决问题的能力。

例2

：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

例2变式

自主小课堂：由学生分组讨论，举一些和定积最大的例子：_____________________ 并由其他组学生解答

并总结在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________

【设计意图】此环节由学生结合自己对例2的理解，提出问题并解答问题。在例2的基础上，学生可能会举一些生活实际问题，数学几何问题，从而提升学生运用数学的能力。

（四）小结

教师播放音乐，学生闭上眼睛，双手自然摆放，将自己的思绪飞回到这节课开始的地方，回忆本节课学到了一些什么内容，解决了些什么问题，和小组讨论了什么，收获了什么...... （1）知识点

（2）方法论

【设计意图】此环节借助瑜伽的思路，让学生在一节课的紧张学习之后，能静下心来总结本

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节课内容，而且由学生自己总结认知，更能加深对本节课的认识。

（五）布置作业

（1）

习题１.１（第10页）第１２、１４题

（2）

探究n个正数的算术—几何平均不等式

（3）

生活中有许多有趣有用的不等式，请收集一些

【设计意图】在作业布置上涉及到三个问题，不仅可以加强学生课后对知识的巩固，而且还可以引导学生对其他不等式的研究，有利于提高学生自主学习、自觉学习的兴趣，也为之后不等式的学习做好铺垫。

七、板书设计

引例1 引例1 自主小课堂1

例1 两个正数的相关不等式复习

三个正数的相关不等式

自主小课堂3 自主小课堂2 例2

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