二 用数学归纳法证明不等式第二课时教学实录

数学归纳法证明不等式

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教学重点：

掌握数学归纳法的概念、应用

教学难点：

理解数学归纳法的应用

1、

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在___________时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立. 2、

数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

（1）P(n0)成立(奠基) （2）假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的______数n都成立

类型一：

用数学归纳法证明不等式问题

a,bR例1.已知：，nN，n1，求证：anbnan1babn1

1

练习1.

设fx是定义在正整数集上的函数，且fx满足：“当fkk22成立时，总可推出fk1k1成立”．那么，下列命题总成立的是（

）

A.若f11成立，则f10100 B.若f24成立，则f11成立

2C.若f39成立，则当k1时，均有fkk成立

2D.若f425成立，则当k4时，均有fkk成立

2

练习2.

用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是

(

) A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

类型二：

用归纳法证明数列不等式、整除问题

例2.

设f(n)A．

111111311111练习3.

观察不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋223237223152315>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．

312例3.

试证：当n∈N*时，f(n)＝32n2－8n－9能被64整除．

＋1

2n11111......（n∈N*），那么f(n1)f(n)等于（

）

n1n2n32n11111B.

C. D.

2n22n12n22n12n2

*练习4.

下列代数式（其中k∈N）能被9整除的是（

）

﹣A．6+6•7k

B.2+7k1

C.2（2+7k+1） D.3（2+7k）

1. 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(

) A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立

B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立

C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

2

2. 用数学归纳法证明不等式11113＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推

2n14n＋1n＋2到n＝k＋1时不等式左边

(

) 1A．增加了一项

2k＋111B．增加了两项、

2k＋12k＋21C．增加了B中两项但减少了一项

k＋1D．以上各种情况均不对

3.

若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．

4.

已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，

(1,4)，

(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

5. 如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是

________________．

1 1

1 1

2

1 1

3

3

1 1

4

6

4

1 ……

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基础巩固

1.

如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是（

）

A．P（n）对n∈N*成立

B.P（n）对n＞4且n∈N*成立

C.P（n）对n＜4且n∈N*成立

D.P（n）对n≤4且n∈N*不成立

2. 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(

) A.30

B.26

C.36

D.6 1113. 用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n1)”时，由n＝

232－1k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是

(

) A．2k1

－

B．2k－1

C．2k

3 D．2k＋1

4. 对于不等式n2＋n

下：

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法

(

) A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

5. 用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开

(

) A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3

6.

若把正整数按图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为（

）

A.

B. C.

D.

7.

从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为

___________．

223344aa8. 已知2＋＝2，3＋＝3，4＋＝4，…，若6＋＝6，(a，t均为33881515tt正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. 9. 用数学归纳法证明：110.

用数学归纳法证明：

111.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)(n∈N)．证明：an

12.

已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145

(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+1113n*(n∈N) 22223n2n111112＞1(n∈N*,n＞1). nn1n2n11)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与bn3logabn+1的大小，并证明你的结论

4

13.

用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*

14.

是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

能力提升

15. 设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足 a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求nn(n1)(an2+bn+c)

12q的取值范围

16.

在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比列(n∈N*)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．

Snan，都在函数f(x)＝x＋n的图象上．

17.

设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点n2x(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；

(2)将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5＋b100的值．

课程顾问签字： 教学主管签字：

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