复习参考题第二课时教学实录

线性回归方程问题的争分策略

新溪一中高三数学

授课：谢东明

时间

2018.5.9

一、考情分析－－“知彼”

概率统计案例中的回归分析的考查是近几年高考及各地模拟考中的常客，考查概率统计的大题主要以数据的处理能力及案例解决能力为主要考查点，在2014年全国II卷、2015年全国I卷、2017年全国III卷、2018汕头一二模（文）及各地模拟均有涉及，能力要求上需要学生熟练掌握题目数据的整合处理、数据的计算、案例解决的步骤、运算结果的实际运用，此类题对文科学生来说整体难度较大，但解决模式近似，对于我们学校的学生实际要想得高分很难，但想在此类题争分还是有机会的！

二、学情分析－－“知己”

通过期末检测、一二模这两次考试及平时的测试，分析学生的实际情况，学生对于统计问题中数据的处理能力还是存在严重的不足，但在国卷高要求的背景下的备考我们唯有针对性准备能力，以争分的心态去面对此类问题，但面对此类问题，解决的入口都是复杂的图、表等各种形式的数据的处理，学生能力薄弱点主要在数据处理能力及无明确案例解决步骤。

三、教学目标：

本节课定位：针对以上考情及学情分析，重点以回归分析案例为背景，培养学生的数据处理能力。

1. 通过例题的讲解与针对性训练使学生进一步明确此类问题的争分策略，培养数据处理能力；

2. 培养学生运用模式化的争分策略独立去解题的能力，营造和谐的课堂学习氛围；

四、教学重点：数据处理能力的培养。

教学难点：模型解决步骤在具体解题中的运用

五、教法：师生合作探究、例中练、对比归纳、总结

教具：多媒体辅助教学

六、

教学过程：

（一）．例题示范

(常规题目回顾操作步骤，明确操作流程，在实际运用过程中，如遇到对应类型能及时浮现操作流程，按操作流程为方向去实现数据的处理，从而解决方向不清晰的问题，同时也在此过程中得分相应的分数) 知识回顾：

（争分模版）求回归直线方程的步骤：

（1）整理数据，计算出xi1n2i，xy，x,y.(争分点）

ii1nˆ,公式为

ˆ,b（2）计算回归系数a

ˆxaˆbˆ. （3）写出回归直线方程y

1

（二）真题实战训练

1.典例示范：（广州市2016届高三二模）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：

价格x（元/kg）

10 15 20 25 30 日需求量y（kg）

11 10 8 6 5

(Ⅰ) 求y关于x的线性回归方程；

(Ⅱ) 利用(Ⅰ)中的回归方程，当价格x40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？

参考公式：线性回归方程ybxa，其中bxxyyiii1nxxii1n2，aybx. 1、(Ⅰ)解:由所给数据计算得

1101520253020, ………………………………………………1分

51 y11108658, ……………………………………………………2分

5 x xxii15i521050252102250, ……………………………3分

22 xxyy10352005210380.………………4分

ii1bxxyyiii15xxii152800.32. ………………………………………6分

250aybx80.322014.4. ………………………………………8分

所求线性回归方程为y0.32x14.4. ………………………………………9分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知当x40时,

y0.324014.41.6.……………………………11分

故当价格x40元/ kg时，日需求量y的预测值为1.6kg.

…………………12分

2：重做（2018年汕头二模）

19．某产品标准质量为500g，只要误差的绝对值不超过4g就认为合格.为对比新、旧两条生产线所生产的产品质量的误差，各随机抽取了1000件产品，并测量各件产品质量的柱状图如图（6）、（7）.

（1）分别估计两条生产线生产产品的合格率；

（2）能否有99%的把握认为产品合格率是否与产品的生产线有关？

（3）图（7）是产量为x千件产品的平均误差数y的散点图．若误差与产量有关，那么产量为4千件时的产品平均误差数大约为多少？

2

图（7）

图（5）

图（6）

附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，……，

ˆaˆbxˆ的斜率和截距的 (xn,yn),其回归直线y最小二乘估计分别为：

ˆ b(xi1nnix)(yiy)i(xy)nxyiii1n(xi1x)2xi1n

，2inx2分析>>争分点:1.统计类型的判断及方案的选定

2.相关公式的记忆与运算能力

19.解：（1）由柱状图可知，旧生产线随机抽取的1000件产品中合格品有960件，

所以估计旧生产线生产产品的合格率9600.96；………………………………… 1分

1000 新生产线随机抽取的1000件产品中合格品有980件，

所以估计新生产线生产产品的合格率9800.98. ………………………………… 2分

1000

3

（2）结合柱状图列出列联表如下：

合格品

非合格品

合计

2旧生产线

960 40 1000 新生产线

980 20 1000 合计

1940 60 2000

……… 4分

2000(9602040980)2K（…5分）6.803（…6分）6.635

10001000601940有99%的把握认为产品合格率是否与产品的生产线有关．

………………………… 7分

（3）x11.522.5321.51.22.32,y0…………………………………… 8分

55ˆb(xx)(yy)iii15(xx)ii152(1)(2)(0.5)(1.5)0.51.212.3（…9分）2.26 10分10.250.251

ˆx02.2624.52ˆybaˆ2.26x4.52，

…………… 11分

产量为x千件产品的平均误差数y的线性回归方程为：y

ˆ2.2644.524.52，故产量为4千件时的产品平均误差数大约为4.52g．……… 12分

y（i1,2,,10)如3.独立操作．（2018广州一模）某地1~10岁男童年龄xi（岁）与身高的中位数yicm下表：

x（岁）

ycm

1 76.5 2 88.5 3 96.8 4 104.1 5 111.3 6 117.7 7 124.0 8 130.0 9 135.4 10 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

4

x

y

101022xix

yiy

i1i110xxi1iyiy

5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85 （1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；

（2）某同学认为，ypx2qxr更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y0.30x210.17x68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

附：回归方程ybxa中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

bxxyy

，aybx．

iii1ni1nxix2

设计意图：给学生一个争分的模版，教师做示范，完成任务后，剩余的时间交给学生去训练，教师做相应的点评和引导。

题后小结：回归分析问题的争分策略就是争分模版中呈现的三个步骤，这是对我们来说比较有可能去争取的分数，公式中要求的数据的计算是争分的点。

（三）课后巩固

1、（2017汕头二模）

某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价）．在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和

5

销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为5，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没6有好评有30件；另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：

时段

单价x（元）

1 800 2 820 3 840 4 860 5 880 6 900 90 84 83 80 75 68 销量y（件）

（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？

（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系ˆxaˆbˆ），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？

（yˆˆxaˆbˆ中系数计算公式分别为：

b（参考公式：线性回归方程y(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n，

22n(adbc)ˆx；Kˆyb，其中nabcd．）

a(ab)(cd)(ac)(bd)2（参考数据：

P(K2k)

k

60.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 xyin1i406600

，xi24342000）

n161.（1）依题意，产品好评有5480400件，……1分

服务好评有0.75480360件……2分

6根据统计数据列出列联表：

……3分

产品好评

产品没有好评

合计

服务好评

服务没有好评

合计

2310 90 400 50 30 80 360 120 480 480(310305090)2K810.828……4分

40080360120不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关．……5分

（2）x850,y80……6分

ˆ（法一）b(xx)(yy)xy6xyiiiii166(xx)ii162i16……7分xi12i6x26 4066006850800.2……8分434200068502

（法二）将表中数据进行预处理得：

时段

1 -50 10 2 -30 4 3 -10 3 4 10 0 5 30 -5 6 50 -12 xix

yiy

……7分nˆb(xx)(yy)iii1(xx)ii1n2(50)10(30)4(10)310030(5)50(12)0.2…825009001001009002500ˆx80(0.2)850250……9分ˆyb分

aˆ0.2x因此，销量y和单价x的线性回归方程为：y

250．……10分

利润L(x500)(0.2x250)0.2x350x1250000.2(x875)228125……11分

当x875时，利润最大．所以，该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为875元．…12分

2.

（2014年全国ⅠⅠ卷）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

年份代号t

人均纯收入y

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 2

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

bttyyiii1nttii1n2ˆ

ˆybt，a2.解：

（I）

由所给数据计算得

1

t（1+2+3+4+5+6+7）=4 71

y（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3 7

(tt171t)2=9+4+1+0+1+4+9=28 7

(tt171t)(y1y)

=（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5

+2×0.9+3×1.6

=14.

b(tt171t)(y1y)2t)1(tt17140.5，

28

aybt4.30.54. 2.3所求回归方程为

y0.t. 352.（Ⅱ）

由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得

y0.592.3

6故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

3、（2016年全国III卷高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

参考数据：yi17i9.32，tiyi40.17，i17(yy)ii1720.55，7≈2.646.

8

参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn ，iy)2回归方程yabt

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(ti1nit)(yiy)i(ti1nt)2，a=ybt.

【答案】（1）可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.（2）我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83

亿吨. 【解析】

试题分析：（1）变量y与t的相关系数

r(tt)(yy)iii17(tt)(yy)2iii1i17727tiyitiyii1i1i177777(tt)ii1727(yy)ii17，

2又ti17i28，yi9.32，tiyi40.17，i1i17(tit)275.292，2i12(yy)0.55，

ii17740.17289.320.99

，

75.2920.55故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系. 所以r17（2）t4，yyi，所以

7i1ˆbty7tyiii17ti172i7t2140.17749.3270.10, 28ˆ19.320.1040.93, ˆybxa7

9

四、课堂小结

①记：回归分析的争分策略，严格执行；

②懂：要懂得求回归分析公式中的相关数据，例如平均数；

③练：在实际运用中去理解掌握“争分策略”，最终才有可能掌握运用要点去解决新的题目；

五、板书设计：略

10