1.2.2 空间中的平行关系教学设计实例

空间中的平行关系

授课题目

知识与技能

1.2.2空间中的平行关系——平行直线

类型

新授课

1、学生能掌握基本性质4及其应用

2、学生能掌握等角定理及其证明，和等角定理的推论

3、学生能掌握空间四边形及应用

教学目标

1、培养学生的空间想象能力，从平面的线线平行过渡到空间的线线平行，逐步培养和发展学生的几何直观和空间想象能力

2、通过对基本性质4的应用，加强学生逻辑思维能力和推理论证能过程与方法

力的培养

3、在直观认识和理解空间平行线的基础上，培养学生正确的空间观念，提高学生在数学学习中提出问题、分析问题、解决问题的能力

情感、态度与价值观

让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，提高学习兴趣，激发学生的求知欲，培养学生的探索精神。

基本性质4（空间平行线的传递性）及其应用

等角定理证明的掌握及其推论

启发式的教学法，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与到教学和学习活动中来，形成以学生为中心的探究性学习活动。

多媒体，彩色粉笔，直尺

教学内容

师：空间中的两条直线的位置关系有哪几种？

设计意图

通过对已学知识的回顾为新知识的学习作好铺垫

教学重点

教学难点

教学方法

教具

教学过程

复习回顾

新课讲授

生：三种。相交、平行、异面

师：本节课来学***行直线（引出课题）

一、新课引入

师：在初中几何中，我们学过平行公理：过直线外一点有且只有

一条直线和这条直线平行。

我们还学过平行线的哪些性质（提问）？

生：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这

引出公理4

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新课讲授

师：这一性质可以推广到空间，作为空间中平行直线的基本性质。

二、基本性质4

1、性质叙述

两条直线也互相平行。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。又叫做空间平行线

的传递性。

教师提问：试用符号表示此公理

学生板演：a//b,c//b,则a//c. 2、性质深化

例：在长方体木块ABCD-A′B′C′D′ 的面

AC内有一点P，

经过点P做棱A′B′的平行线，应该怎样画？并说明理由。

通过练习，熟练数学语言表达公理。为后面规范答题作好铺垫。

通过实例，直观认识，使学生直观理解公理，认识数学的应用性。

培养学生用

理论指导实践的能力。

学生回答：（可能出现的错误）：直接过点P做棱A′B′的平行线

提示：只能在平面中作出一条直线的平行线。

正确答案：在面ABCD中过点P做棱AB的平行线。此线与A′B′的平行线。

理由：公理4

三、等角定理

1、定理叙述

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方

向相同，那么这两个角相等。

2、定理证明

已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB//A′B′，AC//A′C′，

且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向。

求证：BACBAC．

分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，- 2 -

新课讲授

这个结论是否成立，还需通过证明。

（1）从求证出发，要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．（提问学生）

（2）根据题意，我们只能证明两个三角形全等（提问学生判断）。

首先，需要构造两个三角形，截取等长的两对线段。

其次，用性质4——证得一个平行四边形——它的对边相等—两个三角形对应边全相等——两三角形全等

——得证。（由教师对学生进行引导）

由空间到平面

使学生的认识不断深入，不断精化。

证明：在BAC和BAC的两边分别截取ADAD,AEAE，

∵AD//AD,ADAD，

∴ADDA是平行四边形，

∴AA//DD,AADD，

同理AA//EE,AAEE， ∴EE//DD,EEDD，

即DEED是平行四边形，

∴EDED，

∴ADEADE，

所以，BACBAC．

3、定理推广

（1）猜想

教师提问：若方向不同会怎么样？

对于等角定理中的条件：

（1）若将“方向相同”改成“方向相反”

（2）若将“方向相同”改成“一组对应边方向相同，而另一组对应边方向相反”

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新课讲授

学生回答：（1）这两个角相等。

（2）这两个角互补。

（2）推论

推论１：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等。

证明：由图所示，

AC与A1C1平行且方向相反，ＡＢ与Ａ1B1 平行且方向相反，延长CA到C2，BA到B2

由于BA//A1B1, ∴A1B1//AB2

同理A1C1//AC2

易知BACC2AB2

且AB与AB2、AC与AC2方向相反

可知AB2与A1B1，AC2与A1C1方向相同

由等角定理可知，B2AC2B1A1C1

从而有BACB1A1C1

推论1成立。

推论2：如果一个角的两边和另一个的两边分别平行，并且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补。

- 4 -

新课讲授

证明：由图所示，AC与A1C1平行且方向相同

ＡＢ与Ａ1B1平行且方向相反

延长BA到B2且AB2与A1B1方向相同，有AB2//A1B1

由等角定理知B2ACB1A1C1

由于B2ACBAC180

∴BAC与B1A1C1互补

推论2得证

（3）应用

练习：空间两个角α、β两边分别平行，若α=60°，

则β=（）

4、定理深化：

若∠AOB =∠A′O′B′，AO//A′O′，AO与A′O′的方向相同，则下列结论中正确的是（）

A.OB//O′B′且方向相同

B.OB//O′B′

C.OB与O′B′不平行

D.OB与O′B′不一定平行

学生总结：如果两角相等或互补，这两个角的两边不一定对应平行。

四、空间四边形的概念

顺次连结不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形。

（若共面，则为平面四边形）

空间四边形的相关概念：

这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点。

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通过实例加深理解。

培养学生理论联系实际的能力，进一步加深对定理的理解

培养学生的逆向思维，培养学生考虑问题的全面性和思维的严谨性。

培养学生空间想

新课讲授

象能力，画图能力。

所连结的不相邻顶点的线段叫做空间四边形的对角线。

教师给出定义

学生理解观察

画出直观图

五、例题

1、例题证明

已知：如图空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，

BC，CD，DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

分析：1、如何判定一个四边形是平行四边形（提问）

2、怎样证明一组对边平行且相等（提问）

3、证明关键是什么？

性质4

A

EH

D

BG

FC

证明：在△ABD中，

因为E，H分别是AB，AD的中点

所以EH//BD，EH=BD

学生从知识、同理，FG//BD，FG=BD，

方法两方面进行总结，提高学生所以EH//FG，EH=FG，

的概括、归纳能所以四边形EFGH是平行四边形。

力

2、变式训练

若上题中加什么条件则，四边形EFGH是菱形？

所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边。

A B C D

方法总结：1.空间四边形，若出现中点——中位线

2.顺次联结各边中点一定是平行四边形

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巩固新课

巩固新课

答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，

每个矩形的竖边是互相平行的，再应用空间平行线的传递性，

可得知它们的折痕是互相平行的．

练习A—2 已知：如图，AA′,BB′,CC′不共面，且AA ′∥

BB′, AA′ =BB′,

BB′∥CC′, BB ′=CC′,

求证：△ABC ≌

△A′B′C

′

A’

A

B B’

C

C’

证明：∵AA′//BB′,AA′=BB′

∴四边形ABB′A′为平行四边形

∴AB//A′B′,

AB=A′B′

一、练习

练习A —1

把一张长方形的纸对折两次，打开后如图，那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？

同理BC//B′C′,BC=B′C′

∴

ABCA'B'C'

∴

△ABC ≌

△A’B’C

′

二、巩固练习

已知：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB,BC的中点

求证：EF∥A1C1

D1A1C1B1DFAEBC

证明:连结AC.

在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点.

所以EF∥AC 又因为

AA1∥BB1且AA1= BB1

BB1∥CC1且

BB1=CC1

- 7 - 注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力

学生总结

使学生对本节所学知识有一个系统的认识

所以AA1∥CC1且

AA1∥CC1

即四边形AA1C1C是平行四边形

所以AC∥A1C1

从而

EF∥A1C1

三、归纳小结

1.基本性质4（空间平行线的传递性）

2.等角定理及其推广

3.平行公理在空间四边形中的应用

布置作业

习题1—2A.

3、5（1），注意解题步骤的书写

最终板书

一、黑板布局

板块1 二、详细内容

板块1

板块2

板块3 基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

又称空间平行线的传递性

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方

向相同，那么这两个角相等。

推论1 推论2

板块2

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已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边

AB//A′B′，AC//A′C′，

且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向。

求证：BACBAC．

证明：在BAC和BAC的两边分别截取ADAD,AEAE，

∵AD//AD,ADAD，

∴ADDA是平行四边形，

∴AA//DD,AADD，

同理AA//EE,AAEE， ∴EE//DD,EEDD，

即DEED是平行四边形，

∴EDED，

∴ADEADE，

所以，BACBAC．

板块3 推论１：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等。

证明：

由图所示，

AC与A1C1平行且方向相反，

ＡＢ与Ａ1B1平行且方向相反，延长CA到C2，

BA到B2

由于BA//A1B1, ∴A1B1//AB2

同理A1C1//AC2

易知BACC2AB2

且AB与AB2、AC与AC2方向相反

可知AB2与A1B1，AC2与A1C1方向相同

由等角定理可知，B2AC2B1A1C1

从而有BACB1A1C1

推论1成立。

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(其他内容详见PPT)

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