探究与发现 组合数的两个性质特级教师教学实录

第2课时

组合的综合应用

1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点) 2．能解决无限制条件的组合问题．(难点)

[基础·初探] 教材整理

组合的实际应用

阅读教材P23例6～P25，完成下列问题．

1．组合与排列的异同点

共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．

不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．

2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤

(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．

(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．

(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．

(4)结论：根据计算结果写出方案个数．

1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(

) 4A．A5种

B．45种

D．C45种

C．54种

【解析】

由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C45种．

【答案】

D

1

2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答) 3【解析】

第一步，安排周六有C37种方法，第二步，安排周日有C4种方法，3所以不同的安排方案共有C37C4＝140种．

【答案】

140 π3．从0,1, 2，2，

3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtan α＋b的倾斜角和截距，可组成______条平行于x轴的直线．

【解析】

要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可．故有C15＝5条满足条件．

【答案】

5 4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种.

【导学号：29472024】

【解析】

每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，3454人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C7＋C7＋C7＝112种分配方案．

【答案】

112

[小组合作型]

无限制条件的组合问题

在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必需参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．

2

【精彩点拨】

本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．

5【自主解答】

(1)从中任取5人是组合问题，共有C12＝792种不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．

5(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C9＝126种不同的选法．

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，414有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C9种选法．共有C3C9＝378种不同的选法．

解答简单的组合问题的思考方法

1．弄清要做的这件事是什么事．

2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．

3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．

[再练一题] 1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

【解】

(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×9＝45. 2×12(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C6种方法；第2类，22选出的2 名是女教师有C24种方法，即C6＋C4＝21(种)．

有限制条件的组合问题

高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今

3

从中选出3名同学参加活动．

(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？

【精彩点拨】

可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．

【自主解答】

(1)从余下的34名学生中选取2名，

有C234＝561(种)．

∴不同的取法有561种．

3(2)从34名可选学生中选取3名，有C34种．

23或者C335－C34＝C34＝5 984种．

∴不同的取法有5 984种．

12(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C20C15＝2 100种．

∴不同的取法有2 100种．

1(4)选取2名女生有C20C2选取3名女生有C3共有选取方式N＝C115种，15种，203C215＋C15＝2 100＋455＝2 555种．

∴不同的取法有2 555种．

33(5)选取3名的总数有C35，因此选取方式共有N＝C35－C315＝6 545－455＝6 090种．

∴不同的取法有6 090种．

常见的限制条件及解题方法

1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．

2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．

3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分

4

类表达，逐类求解．

[再练一题] 2．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．

(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？

(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？

3【解】

(1)从5名男司机中选派3名，有C5种方法，

从4名女司机中选派2名，有C24种方法，

根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为

222C35C4＝C5C4＝5×44×3·＝60种．

2×12×15(2)从9人中任选5人运货有C9种方法．

4其中1名男司机，4名女司机有C15C4＝5种选法．

所以至少有两名男司机的选派方法为C59－5＝121种．

组合在几何中的应用

平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？

【精彩点拨】

解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．

【自主解答】

法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．

1第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C8＝48个不同的三角形；

2第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C8＝112个不同的三角形；

第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．

由分类加法计数原理知，不同的三角形共有

48＋112＋56＝216(个)．

5

3法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C12＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．

3故这12个点能构成三角形的个数为C312－C4＝216个．

1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．

2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．

[再练一题] 3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

【导学号：29472025】

【解】

如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C35＋3＝33种．

[探究共研型]

排列、组合的综合应用

探究1

从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？

6

4×3【提示】

共有C2＝42＝6(个)不同结果．

完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．

探究2

从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？

2【提示】

共有A4－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．

探究3

完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？

【提示】

由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个2位，则百位与十位共A4种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一11个排十位，共C1由分类加法计数原理，完成“这件事”2C3C3＝18(种)不同的结果，2111共有A4＋C2C3C3＝30(种)不同的结果．

有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文课代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

【精彩点拨】

(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．

【自主解答】

(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，2415共有C35C3＋C5C3种，后排有A5种，

2415共(C3A5＝5 400种．

5C3＋C5C3)·4(2)除去该女生后，先选后排，有C7·A44＝840种．

7

414(3)先选后排，但先安排该男生，有C7·C4·A4＝3 360种．

31(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C6种，再安排该男生有C3种，3313其余3人全排有A3种，共C6·C3·A3＝360种．

解决排列、组合综合问题要遵循两个原则

1．按事情发生的过程进行分步．

2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

[再练一题] 4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(

) A．360

C．600

B．520 D．720 34【解析】

分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C5A4＝2×10×24＝480种选法．

423第二类，甲、乙都参加时，则有C2

5(A4－A2A3)＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．

【答案】

C

1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(

) A．120

B．84 8

C．52

D．48 3【解析】

间接法：C38－C4＝52种．

【答案】

C 2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(

) A．60种

C．10种

B．20种

D．8种

【解析】

四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10. 【答案】

C 3．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出B22人担任正、副组长的选法种数为B，若A＝13，则这组学生共有________人．

A22n【解析】

设有学生n人，则C4＝13，解之得n＝15. n【答案】

15 4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．

【解析】

在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线2中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C6＝15×15＝225个．

【答案】

225 5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选．

14【解】

(1)一名女生，四名男生，故共有C5C8＝350种选法．

3(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22C11＝165种选法．

(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．

423故共有C12C11＋C2C11＝825种选法．

9

5或采用间接法：C513－C11＝825种．

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．

3145故共有C25C8＋C5C8＋C8＝966种选法．

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