6.3 二元一次方程组的应用板书设计

二元一次方程组的应用

1．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．

2．学会利用二元一次方程组解决行程问题．

重点

理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

难点

会灵活运用列方程组解决实际问题．

一、复习旧知，导入新知

我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：

(1)审题设未知数；

(2)找相等关系；

(3)列方程；

(4)解方程；

(5)检验，写出答案．

这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题(板书课题)．

二、自主合作，感受新知

回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成“预习导学”部分．

三、师生互动，理解新知

探究点一：列方程组解决简单实际问题

问题1：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分．问该队胜几场，平几场？

分析题意(方法一)：

(1)该队共进行比赛多少场，有没有输？(没有) (2)若假设胜了x场，则平多少场？(11－x) (3)胜一场得3分，胜x场得了多少分？(3x) (4)平一场得1分，平局共得多少分？(11－x) (5)该队共得27分．

(6)你找到等量关系了吗？(胜场得分＋平局得分＝总分) 通过以上分析列出方程．

解：设该队胜x场，则平了(11－x)场．

由题意可得

3x＋(11－x)＝27. 解得x＝8. 11－x＝11－8＝3. 答：该队胜8场，平3场．

分析题意(方法二)：

(1)若假设胜了x场，平局为y场，共进行11场比赛．你能找到它们三者之间的等量关系吗？(胜局场数＋平局场数＝总场数) (2)胜一场得3分，胜x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？(胜场得分＋平局得分＝总分) 设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？

解：设胜了x场，平局为y场，得方程组

x＋y＝11，3x＋y＝27.解得x＝8，y＝3.

答：该队胜8场，平3场．

由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组．讨论交流这两种方法各有什么特点？

探究点二：列方程组解决行程问题

行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行．这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析．其等量关系式是：两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝路程时间；时间＝路程速度. (2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行．这类问题也比较直观，因而也可画线段图帮助理解与分析．这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程．

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速．

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似．

问题2：一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒．若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒．求火车和人的速度．

解析：(1)同向时，火车所行路程比人要多出多少？(多出一个车身的长度) (2)相向时，火车与人共同行了多少？(一个车身的长度) 小组讨论：题目中的相等关系：

同向时：火车行的路程－人行的路程＝车长

相向时：火车行的路程＋人行的路程＝车长

解：设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得

20x－20y＝300，15x＋15y＝300，解得x＝17.5，y＝2.5. 答：火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒．

问题3：甲、乙两地相距4 km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇．试问两人的速度各是多少？

解析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观地找到等量关系．

(1) 同时出发，同向而行

甲2 h行程＝4 km＋乙2 h行程

(2) 同时出发，相向而行

甲0.5 h行程＋乙0.5 h行程＝4 km 解：设甲、乙的速度分别为x km/h，y km/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得

2x－2y＝4，12x＋12y＝4.解方程组，得x＝5，y＝3. 答：甲的速度为5 km/h，乙的速度为3 km/h. 四、应用迁移，运用新知

1．列方程组解决简单实际问题

例1 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？

解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得x＋y＝300，6x＋2y＝1200，解得x＝150，y＝150.

答：甲、乙两种货物各装150吨．

方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找等量关系；设未知数时，一般是求什么，设什么；并且所列方程的个数与未知数的个数相等．

2．列方程组解决行程问题——相遇问题

例2 某体育场的一条环形跑道长400 m．甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔12 min他们相遇一次；如果同向而行，每隔43 min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？

解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400 m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400 m(同向)．

解：设乙骑车每分钟行x m，甲每分钟跑y m，由题意，得12x＋12y＝400，43x－43y＝400.解得x＝550，y＝250. 答：甲每分钟跑250 m，乙每分钟骑550 m. 方法总结：环行道路上的等量关系：若同时同地出发，背向而行时，则第一次相遇时，二者路程之和＝一周长；若同时同地出发，同向而行，则第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝一周长．

3．列方程组解决行程问题——航行问题

例3 A、B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．

解析：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，列表如下：

路程

速度

时间

顺流 140 km (x＋y) km/h 7 h

逆流 140 km (x－y) km/h 10 h

解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.由题意，得7（x＋y）＝140，10（x－y）＝140.解得x＝17，y＝3. 答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h. 方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．

五、尝试练习，掌握新知

“随堂演练”部分．

六、课堂小结，梳理新知

通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？

本节课学习了能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；能利用二元一次方程组解决行程问题．

七、深化练习，巩固新知