完全平方公式的运用优质教案设计

十一章第三节第课时

会用完全平方公式进行因式分解.

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维.

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯.

【重点】

运用完全平方公式分解因式.

【难点】

把多项式看成完全平方公式中一个字母的因式分解.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复***方公式的特点.

导入一:

因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢? 在前面我们不仅学***方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学***方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,本节课,我们就要学***方公式分解因式.

由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢? 将完全平方公式倒置: a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.

便得到用完全平方公式分解因式的公式.

[设计意图]

回顾完全平方公式,直入主题将完全平方公式倒置,得新的分解因式方法.

导入二:

把下列各式分解因式.

(1)-x2+2x-1; (2)x2+xy+y2; (3)4x2+4x+1; (4)a2-2a+1.

思考: (1)能利用提公因式法进行因式分解吗?

(2)能利用平方差公式进行分解吗? (3)是否可以尝试下利用完全平方公式进行因式分解? [设计意图]

通过复习整理学过的因式分解方法,诱导学生探索利用完全平方公式进行因式分解.

活动1

因式分解公式法——完全平方公式

[过渡语]

同学们,下面我们分析用完全平方公式分解因式以及公式的特点.

a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,分别为两个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.

左边的特点:(1)多项式是三项式; (2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式; (3)再加上或减去这两数或两式乘积的2倍.

右边的特点:这两数或两式和(差)的平方.

用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两个数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.

活动2

例题讲解

(教材第150页例3)把下列各式分解因式.

(1)t2+22t+121; (2)m2+n2-mn; 解:(1)t2+22t+121=t2+2×11t+112=(t+11)2.

(2)m2+n2-mn=m2-2·m·n+

= -

.

(教材第151页例4)把下列各式分解因式.

(1)ax2+2a2x+a3; (2)(x+y)2-4(x+y)+4; (3)(3m-1)2+(3m-1)+.

解:(1)ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.

(2)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.

(3)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2·(3m-1)·+

= -

= -

.

[设计意图]

培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法: (1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用完全平方公式把它进行因式分解,有时需要先把多项式经过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.

(2)在选用完全平方公式时,关键是看多项式中的第二项的符号,若是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;若是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b)2.