信息技术应用 估计√2的值教学设计与反思

2.3 等差数列的前n项和

教学目标

知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。

教学重点

等差数列n项和公式的理解、推导及应

教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

教学过程

Ⅰ.课题导入

泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。

宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？

教师问：“如何算出答案？

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

Ⅱ.讲授新课

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)

2证明： Sna1a2a3an1an ①

Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an) 由此得：Sn 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

n(a1an)

2 2．

等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an

但ana1(n1)d 代入公式1即得：

Snna1n(n1)d

2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

（有时比较有用）

[范例讲解] 课本P43-44的例1、例2、例3 由例3得与an之间的关系：

由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn1，

S1(n1)即an=. SS(n2)n1n3.等差数列的等价条件

例1：已知数列an的前n项和Snn212n，求

（1）SnSn1(n2).

（2）求这个数列的通项公式. （3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？

分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略. [设计意图]本例题实际上给出了数列前n项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n项是一个常数项为0的关于n的二次型函数. 接下来，我们来完成一探究题. 2anSpnqnr.其中p、q、r 为常数，且p0

，那么这个数列一定n如果一个数列的前

n 项和为是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

2Spnqnr

得S1a1pqr

n解：由(n1)Spn2qnrS1又n

anSnSn1(n2).22n2

时

anSnSn1(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]2pn(pq)

(n1)pqr

an2pn(pq)(n2).

danan1[2pn(pq)]p[2n(1)pq(p)

]2

此类数列从第二项开始为等差数列. 归纳要使数列an为等差数列，则2p1(pq)pqr,即r0.

[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项公式是一个常数项为0的关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列. 4.等差数列的最值问题

例2：已知等差数列5,4,3,2747的前n项和为sn，求使得sn最大的序号n的值

分析：等差数列的前n项和公式可以写成Snna1n(n1)dd2dn(a1)n222

，所以

可以看成函数d*ydx2a1x，xN，当xn时的函数值.另一方面，容易知道sn

关于n的图像是一条抛22物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值. 解：由题意知，等差数列5,4,3,2747

的公差为5

所以

75snn25n127

275n5n2145151125n1425615

当

n取与最接近的整数即为7或8时sn取最大值. 2[设计意图]通过学习等差数列前n项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

例3：等差数列an

中，a0，ss1912求使得Sn最小的序号n的值？

解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：

由s9s12得9a198d12a11211d

221a1

10

因此3a130d

则d

a10则d0

21121d212122snna1nn1ddndnnd

222228由以上条件知sn有最小值. 又

nN*，则n=10或11时sn取最小值，最小值为55d. 即s10s1155d

1a10

而a10

10解法二：由解法一知d则数列an为递增数列.

令an0a1(n1)d0

即

a1nd0an1011a10110(n1)0a1(n1)1010n11.

11ana01n0101101数列的前10项均为负值, a11

=0.从第12项开始为正值. n=10或n=11时sn取最小值. 解法三：s9s12

a10a11a120

3a110即a110

又a10则数列an

为递增数列. 数列的前10项均为负值，a11

=0.从第12项开始为正值. 当n=10或11是sn取最小值. [设计意图]本例是对例2 的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。

5.等差数列前n项和的性质

例4：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，求证S6,S12S6,S18S12也成等差数列，设kN,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列吗？

解法一：由S66a115d,

S1212a166d,

S1818a1153d,

可得

S6(S18S12)2(S12S6).

解法二：S12S6a7a8a9a10a11a12

a16da26da66d

a1a2a636d

S636d.

同理可得：S18S12S672d.

S6(S18S12)2(S12S6).

（k的情况也类似，在此省略）

[设计意图]本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。

例5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列an和bn的前n项和An和Bn满足关系式aAn7n1(nN),求n

bnBn4n27（分析：条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）

解：由等差数列性质：

ana1a2n1bb,bn12n1,

22a1a2n12b1b2n12anbn(2n1)(a1a2n1)2(2n1)(b1b2n1)2A2n1B2n1

7(2n1)114n6.

4(2n1)278n23[设计意图]本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。

【即时体验】

问题1.等差数列an中，a415,d3，求数列an的前n项和Sn的最小值. 分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：①将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.②确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解. 解答过程略. 问题2：已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为多少？

解：S10,S20S10,S30S20,,S110S100,成等差数列，设其公差为D，

又首项为S10100，前10项的和为S1001010010109D10,D22.

2又S110S100S1010DS1101001010(22)110.

问题3：若两个等差数列的前n项和之比是(3n1):(6n2)，试求它们的第11项之比. 分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略. [设计意图]及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。