信息技术应用 估计√2的值教学目标

等

差

数

列

教学目的：

1. 要求学生掌握等差数列的概念

2. 等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

教学重点：

1. 要证明数列{an }为等差数列，

* 2. 等差数列的通项公式：a n =a1+(n-1)d (n≥1, 且n ∈N ). 教学难点：

等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

教学过程：

一、引导观察数列：

（1）1，3，5，7，9，11，

……

（2）3，6，9，12，15，18，……

（3）1，1，1，1，1，1，1，……

（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数

—

“等差”

二、得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那

么这个数列叫做等差数列。

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

．．．．．．．．．．

定义另叙述：在数列{a n }中，a n +1－a n =d（n ∈N +), d为常数，

则{an }是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。

评注：

1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列. 如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……

2、公差d ∈R ，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d 三、等差数列的通项公式：a n =a1＋（n －1）d 问题1：已知等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，求

a 2=a 1+d a 3=a 2+d =(a 1+d ) +d =a 1+2d a 4=a 3+d =(a 1+2d ) +d =a 1+3d „„

由此归纳为

a n =a 1+(n -1) d 当n =1时

a 1=a 1 （成立）

a n =a 1+(n -1) d 等差数列的通项公式

四、应用

例1 （1）求等差数列8，5，2，……的第20项

（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项，

如果是，是第几项？

解：（1）由a 1=8,d=5－8=－3,n=20,得: a20=8＋（20－1）×（－3）=－49 （2）由a 1=－5,d=－9－（－5）=－4, 得: an =－5＋（n －1）×（－4）即=－4n －1 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n, 使得

若

－401=－4 n－1成立

解这个关于n 的方程，得n=100 即－401是这个数列的第100项

例2 在等差数列｛｝中，已知a 5=10，a 12=31，求首项a 1与公差d 。

解：由题意可知

a 1=－2 a 1＋4d=10 解得：a 1＋11d=31 2，公差是

另解：由a n =ak ＋（n －k ）d, 知

a 12=a5＋（12－5）d, 即10＋7d=31 解得

d=3 ∵

a5=a1＋（5－1）d ∴

10=a1＋4×3 解得a 1=－2 即这个等差数列的首项是－2，公差是3 作业：

（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10。

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项。

（3）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

解

：（1）由a1=3，d=7－3=4得

a 4=3+（4－1）×4=15 a 10=3+（10－1）×4=39 （2）由a 1=10，d=8－10=－2，得a 20=10+（20－1）×（－2）=－28 （3）由a 1=2，d=9－2=7，得：=2+（n －1）×7=7n－5 由题意知，7n －5=100 解得n=15即100是这个数列的第15项。

2. 在等差数列｛a n ｝中，

（1）已知a 4＝10，a 7=19，求a 1与d ；

（2）已知a 3=9，a 9=3，求a 12。

1）由题意知

a 11=1 a 1+6d=19 ∴1，公差为3。

（2）设等差数列{}a1，公差为d ，由题意可知：

a 1+（3－1）1=11 a 1+（9－1d ）－1 这个数列的通项公式为a n =12－n ∴

a12=12－12=0 另解：由a n =am +（n －m ）d ，得

a9=a3+（9－3）d 3=9+（9－3）d ∴d=－1 ∴

a12=a3+（12－3）d=9+9（－1）=0 五、小结：

本节课首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式a n+1－a n =d(n∈N +) 。其次，要会推导等差数列的通项公式：a n =a1＋(n－1)d(n≥1) ，并掌握

其基本应用。最后，还要注意一重要关系式：a n =am ＋(n－m)d 的理解与应用。