小结教案和学案内容

第4讲

基本不等式教案

1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．

2．考查应用基本不等式解决实际问题．

【复习指导】

1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．

2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．

基础梳理

1．基本不等式：ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号)；

a＋b2(a，b∈R)；

(3)ab≤2a2＋b2a＋b2(a，b∈R)．

(4)≥223．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个2正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是a2＋b2a＋ba＋b2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”ab≤；≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤222技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

a2＋b2a＋b2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；

(1)≥22a2＋b2a＋b2(2) ≥≥ab≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．

2211＋a＋bbaaba＋bp2ab这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

- 1 -

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

双基自测

1．(教材习题改编)已知0

) 1132 A.

B. C. D.

324311931解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时“＝”成立．

33442答案：B 2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(

) A．18 B．36 C．81

D．243 解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，

等号成立．

答案：A 3．(教材习题改编)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的 是 (

) 411 A．y＝－x－ B．y＝lg x＋ C．y＝x2＋1＋ D．y＝x2xlg xx2＋1－2x＋3 解析： A中y≤－4，B中lgx不一定为正．C中y>2. 答案： D x2－4x＋14．已知x>0，则y＝的最小值为________．

x1解析：∵x>0，∴y＝x＋－4≥2－4＝－2.当且仅当x＝1时，

x等号成立．

答案：

－2 45．若x>1，则x＋的最小值为________．

x－144解析：∵x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1答案： 5 - 2 -

考点1

利用基本不等式求最值

【例1】(1)若x>0,f(x)= (2)若x<0,f(x)= 123x的最小值为_____;此时x=____. x123x的最大值为_____;此时x=____. x5练习：求函数

f(x)2log2x(0x1)的范围

log2x错解5522log2x225

log2xlog2x注意:各项必须为正数

正解0x1log2x0，当且仅当log2x

5,即x25时,f(x)max225

log2x1 (x ≥ 0)的最小值为__1___,此时x=__0__. x+1二不定,需变形——积或和为定值构造积为定值

10

解:x0,x111yxx11≥2-1=1 x1x11当且仅当x+1=即x=0

x+1【例2】. 函数y=x+

(0

12x2-3x+1,(x>1)

的最大值为______.255

变式2.函数y= x1x25例3:求函数

y的最小值

2x41x25x2412

错解:yx24222x4x4x412当且仅当x4时取等号

2x41依据:利用函数

yt (t>0)的单调性.t(0,1]

单调递减，t[1,)单调递增

t1x25x241正解:y

x24222x4x4x41(t2)

令tx24则ytt5当t2,即:x0时,ymin

2三不等,常用单调性

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变式: 函数y=x+

424(x ≥ 4)的最小值为______.

x+15考点2 利用基本不等式求参数的取值范围

【互动探究】

141、 (2011年重庆)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) ab79A.

B．4 C.

D．5 22b4a91414a＋b1解析：y＝＋＝＋＝×1＋4＋＋＝. ab2abab22变式1:已知x0,y0,2x3y5,求27的最小值

xy变式2:已知x0,y0,211,求xy的最小值

xy【互动探究】

2、 (2011 年浙江)设 x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y 的最大值是__________．

222解析：∵4x＋y＋xy＝1，∴(2x＋y)－3xy＝1. 332x＋y222即(2x＋y)－·2x·y＝1.∴(2x＋y)－≤1. 22282102102解得：(2x＋y)≤.即－≤2x＋y≤. 555练习１(2010 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是（

B ）

911A．3 B．4 C. D.

22x＋2y2，

解析：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－22整理得(x＋2y)＋4(x＋2y)－32≥0.

即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.

又x＋2y>0，∴x＋2y≥4.

本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用．整体思想是分析这类题目的突破口，即2x＋y 与 x＋2y 分别是统一的

整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y 亦可)与 x＋2y(x·2y 亦可)形式的不等式是解本题的关键．

练习２

(2010 年浙江)若正实数 x，y 满足2x＋y＋6＝xy，

则 xy 的则 xy 的最小值是___18_. 22解析：运用基本不等式xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t，可得t－2 2t－6≥0，注意到t＞0，解得t≥3

课堂小结：

a＋b2等求函数的最值时，要注意到合理拆1．利用均值不等式 a＋b≥2ab以及变式 ab≤2分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)，即“一正、二定、三相等”

2．当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的

单调性，利用单调性求最值．

3．多次重复使用均值不等式求解时，应考虑再相加相乘时字母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致．若不一致，则不等式中的等号不能成立．

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4．当a>0，b>0时，211＋ab当且仅a＝b 时等号成立．

1．在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失

2．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．误的关键所在．

跟踪训练

≤ab≤a＋b≤2a2＋b2， 2【训练1】

11(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

xy2x的最大值为________．

x＋111[审题视点] 第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；

(2)当x＞0时，则f(x)＝2xy第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．

解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

112x＋y2x＋y∴＋＝＋

xyxyy2x＝3＋＋≥3＋22. xyy2x当且仅当＝时，取等号．

xy(2)∵x＞0，

2x22∴f(x)＝2＝≤＝1，

x＋112x＋xx1当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

答案 (1)3＋22 (2)1

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

1【训练2】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．

x－12(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．

5(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

1解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．

x－1- 5 -

1(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，

52∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，

55x＋2－5x2＝1，

∴5x(2－5x)≤21∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，

511即x＝时，ymax＝. 55(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，

28∴＋＝1，

yx8y2x82∴x＋y＝(x＋y)＋＝10＋＋

xyxy4yx4yx＋≥10＋2×2×

＝10＋2·＝18，

xyxy4yx当且仅当＝，即x＝2y时取等号，

y又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，

∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18. 1答案 (1)3 (2) (3)18 5x

考点4 基本不等式证明不等式

【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bccaab＋＋≥a＋b＋c. abc[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．

证明

∵a＞0，b＞0，c＞0，

bcca＋≥2 abbcab＋≥2 accaab＋≥2 bc∴bcca·＝2c；

abbcab·＝2b；

accaab·＝2a. bcbccaab以上三式相加得：2＋＋≥2(a＋b＋c)，

bcabccaab即＋＋≥a＋b＋c. abc

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

【训练2】

已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. - 6 -

111求证：＋＋≥9. abc证明

∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋

abcabc＝3＋bcacaa＋a＋b＋b＋c＋bc

＝3＋ba＋acacbb＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．

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考点5 利用基本不等式解决恒成立问题

x≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x2＋3x＋1xx[审题视点] 先求2(x＞0)的最大值，要使得2≤a(x＞0)恒成立，只要x＋3x＋1x＋3x＋1x(x＞0)的最大值小于等于a即可．

x2＋3x＋1xx解析

若对任意x＞0，2≤a恒成立，只需求得y＝2的最大值即可，因为xx＋3x＋1x＋3x＋1x111＞0，所以y＝2＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值x＋3x＋1115x＋＋32 x·xx【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，1范围是，＋∞

51答案

，＋∞

5

当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．

【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

解析

由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10. 答案 10

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