2.2.1 综合法和分析法教学实录与评析

2.2直接证明与间接证明教学设计

一．教学目标

1.

知识与技能目标

（1）了解直接证明的两种方法：综合法与分析法；

（2）了解综合法与分析法的思维过程和特点。

2.

过程与方法目标

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力；

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析

问题、解决问题的能力。

3.

情感、态度与价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。

二．教学重难点

1.

教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点；

2.

教学难点：综合法和分析法的应用。

三．教学用具

多媒体、板书

四．教学过程、

1.

复习引入

回顾之前学习的内容，提问1.推理的种类及特点；2.演绎推理的模式。学生回答，教师总结：1.推理包括合情推理和演绎推

理，其中合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳是由特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎是由一般到特殊的推理。（ppt展示结构图）2.演绎推理的一般模式是三段论：大前提、小前提、结论。

我们已经知道，推理得出的结论未必是正确的，在三段论中，必须大前提、小前提都成立，且经过正确的论证过程，所得出的结论才一定成立，三者缺一不可。（ppt展示：大胆猜想、小心求证）

2.

探究新知

我们知道，在写议论文的时候，论理+论据+论证=论点；在法律界，法律条文+事实证据+辩证论证=定性定罪

；在数学上，定理+条件+推理=结论。无论哪种情况下，证明问题必须既要有理还要有据。那么，证明的一般思路都有哪些呢？（ppt展示：因为所以，科学道理）

（1）

模式一：因为......所以......

这种证明模式在以前我们解题的时候经常应用，举例说明：

例1.

证明：若a2+b2+c2=ab+ac+bc,则a=b=c.

ppt展示题目，在黑板书写过程，强调每一步的大前提是什么。

第一步：移项，a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，依据是等式的性质；第二步：两边同时乘以2，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，依据仍然是等式的性质；第三步：配方，(a-b)2+(c-b)2+(a-c)2=0，依据是完全平方公式；第四步：得出a-b=c-b=a-c=0，依据是若干个非负数的和为零，这几个非负数都

是零；最后一步：得出a=b=c，依据是等式的性质。

得出综合法的概念：（ppt展示：综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。）

强调综合法的思维特点是“由因导果”。

（ppt展示）综合法的逻辑思维过程：

QP1（ppt展示）

综合法的书写格式：

因为......

所以......

又因为......

所以......

...... （2）模式二：之所以......是因为...... 这种思维模式我们以前用的比较少，在前几次测试中，有些同学就曾试图应用这种方法来进行数学证明，举例说明：

ab2例2.

证明

Q1Q2Q2Q3....QnQab(a0,b0)

ppt展示题目，在黑板书写过程，强调每一步都是寻找上一步结论成立的充分条件。第一步要证原不等式成立，只要证ab2ab-2ab,而要证上面的不等式成立，只要证ab0,而要证上面的不等式成立，只要证

(a-b)20,而上面的不等式显然成立，因此原不等式成立。

书写完以后强调一下书写格式。

当堂练习：证明3725

找一位学生上讲台板演，其余同学台下练习，鼓励学生讨论书写格式并互相检查，教师巡视、点评、总结。

得出分析法的概念：（ppt展示：分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。）

分析法的思维特点是“执果索因”。

再次强调分析法的书写格式：

要证......

只要证......

只需证......

即证......

......显然成立

所以结论成立。

3.课堂小结

证明对我们来说并不陌生，在以前的学习中，同学们都积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，刚才我们通过几个简单的实例，介绍了直接证明的两种常见的方法：综合法QP1P1P2P2

和分析法，希望大家能够形成一个较完整的认识，提升思维的条理性和严谨性。

4.案例分析

这位同学在证明时每一步的理由不清楚，不充分，大前提不清。

这位同学把证明题做成了解不等式，逻辑混乱。

这位同学有朴素的分析思想，但书写格式欠缺。

这位同学同时应用分析和综合，比较好，书写也有小毛病。

这位同学也差不多，是朴素的纯分析思路，书写格式也有毛病。

点评完了，找两位同学上讲台板演，按照今天所学的格式要求，一位用综合法书写，一位用分析法书写，其余同学在台下练习，鼓励学生讨论书写格式并互相检查，教师巡视、点评、总结。

4.

作业布置。

课本本小节练习第一题、第二题。