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关键词：小结ppt课件教学实录

正文

基本不等式的证明

江苏省高邮中学季长征 2018.5

教学目标

1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；

2.理解基本不等式的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。

教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。

教学过程：

一．问题情境

引入：两个正数a，b的等差中项是__

___；两个正数a，b的等比中项是__

___。

算术平均数与几何平均数的定义.

问题：两个正数a,b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？

二．学生活动

引导学生作如下思考：

试自己列举一些正数a,b,分别计算它们的算术平均数与几何平均数之大小，总结规律，进行猜想？

三．建构数学

1．用具体数据验证得：

基本不等式：abab(a0,b0)

2即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。

下面给出证明：

ab11ab[(a)2(b)22ab](ab)20

222当且仅当ab即ab时，取“”。

ab证法2：要证ab，只要证2abab

只要证0a2abb，只要证0(ab)2

ab因为最后一个不等式成立，所以ab成立，当且仅当ab即ab时，取“”。

2证法3：对于正数a,b有(ab)20，ab2ab0

abab2ab,ab

22．说明：（1）基本不等式成立的条件是：a0,b0

证法1：（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）

abab的几何解释：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作22D

弦DDAB，则CDCACBab，

abCDab

从而CDab，而半径2A

（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即

ababab；另一方面是仅当ab时取等号，即

D（图1）

2（3）

abab。

222（5）如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“”）．

ab四．数学运用

例1．设a,b为正数，证明下列不等式成立：

（1）ba12；（2）a2

aba证明：

例2．已知a,b,c为实数，求证：abcabbcca

证明：

例3．已知a、b、c都是正数,求证：

(ab)(bc)(ac)8abc

变式：已知a、b、c都是正数，a + b + c =1, 求证：（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc

思考题：求证:2224a7.（a3）

a3[思维切入]由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44a(a3)3.这样变形后,在用基本不等式即可得证. a3a3

五．巩固练习：

1.课本P902,3,4

2.给出下列结论：

（1）若x0,y0,则lgxlgy2lgxlgy

11cosx2cosx2

cosxcosx44（3）若x0，则x2x4

xx（2）若x0,则（4）若x0，则2x2x22x2x2

其中正确的有

六．回顾小结：

1．算术平均数与几何平均数的概念；

2．基本不等式及其应用条件；

3．不等式证明的三种常用方法。

资料摘要

小结ppt课件教学实录

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