小结优质课一等奖

推理与证明复习课

（1）归纳推理

学习目标

1. 了解合情推理和演绎推理的含义；

2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；

3. 能用综合法和分析法进行数学证明；

4. 能用反证法进行数学证明.

学习过程

问题：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出

. 新知：归纳推理就是由某些事物的

,推出该类事物的

的推理，或者由

的推理.简言之，归纳推理是由

的推理. ※

典型例题

例1 观察下列等式：1+3=4=2，

1+3+5=9=3，

1+3+5+7=16=4，

1+3+5+7+9=25=5，

……

你能猜想到一个怎样的结论？

例2已知数列an的第一项a11，且an12222an(n1,2,3...)，试归纳出这个数列的通项公式. 1an

当堂检测

1.下列关于归纳推理的说法错误的是（

）.

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程

B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程

C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确

D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若f(n)n2n41,nN，下列说法中正确的是（

）.

A.f(n)可以为偶数

B. f(n)一定为奇数

C. f(n)一定为质数

D. f(n)必为合数

3.

从112,23432,3456752中得出的一般性结论是_____________

.

（2）类比推理

学习过程

新知：类比推理就是由两类对象具有

和其中

，推出另一类对象也具有这些特征的推理.

简言之，类比推理是由

到

的推理. ※

典型例题

例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

类比

角度

运算

结果

运算律

逆运算

单位元

实数的加法

实数的乘法

练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2，则三角形面积之比SOM1N1SOM2N2OM1ON1.若不在OM2ON2同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点P1,P2，点Q1,Q2和点R1,R2，则类似的结论是什么？

当堂检测

1.下列说法中正确的是（

）. A.合情推理是正确的推理

B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理

D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2. 下面使用类比推理正确的是（

）.

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

ababC.“若(ab)cacbc” 类推出“

（c≠0）”

cccnnnn（ab）anbn” 类推出（D.““ab）ab

3.

一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有

个黑圆. （3）

演绎推理

学习过程

复习1：归纳推理是由

到

的推理.

类比推理是由

到

的推理. 复习2：合情推理的结论

. 新知：演绎推理是从

出发，推出

情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由

到

的推理.

2

新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提——

；

小前提——

；

结论——

.

※

典型例题

例1

在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等. 新知：用集合知识说明“三段论”：

大前提：

小前提：

结

论：

练习1 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？

所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）

菱形是所有边长都相等的凸多边形，

（小前提）

菱形是正多边形.

（结

论）

当堂检测

111. 因为指数函数yax是增函数，y()x是指数函数，则y()x是增函数.这个结论是错误的，这是因为

22A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

（4）

综合法

学习过程

复习1：两类基本的证明方法:

和

.

复习2：直接证明的两中方法:

和

.

新知：一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思：

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果. 111例1已知a,b,cR，abc1，求证：9

abc

变式：已知a,b,cR，abc1，求证：

111(1)(1)(1)8. abc

当堂检测

1. 已知x,yR,则"xy1"是"x2y21"的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.

如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（

）

A．a1a8a4a5

B．a1a8a4a5

C．a1a8a4a5

D．a1a8a4a5

（5）

分析法

学习过程

复习1：综合法是由

导

; 复习2：基本不等式:

新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※

典型例题

例1求证3526

变式：求证:3725

※

当堂检测

1. 要证明3725可选择的方法有以下几种,其中最合理的是

A.综合法

B.分析法

C.反证法

D. 归纳法

2.已知ab0, (ab)2ab(ab)2求证:. ab8a28b

（6）

反证法

学习过程

复习1：直接证明的两种方法:

和

; 复习2：

是间接证明的一种基本方法. 新知：一般地，假设原命题

，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设

，从而证明了原命题

.这种证明方法叫

.

※

典型例题

例1 已知a0,证明x的方程axb有且只有一个根.

变式：证明在ABC中,若C是直角,那么B一定是锐角.

4

小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

※

当堂检测1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60”时，反设正确的是（

）. A．假设三内角都不大于60

B．假设三内角都大于60

C．假设三内角至多有一个大于60

D．假设三内角至多有两个大于60

2. 实数a,b,c不全为0等价于为（

）. A．a,b,c均不为0

B．a,b,c中至多有一个为0 C．a,b,c中至少有一个为0

D．a,b,c中至少有一个不为0 1113.设a,b,c都是正数，则三个数a,b,c（

）. bcaA．都大于2

B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2

D.至少有一个不大于2

(7)数学归纳法

学习过程

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立; （2）归纳递推：假设n=k（k≥n0，

k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

※

典型例题

例1 用数学归纳法证明

n(n1)(2n1)122232n2,nN*

6

变式：用数学归纳法证明

1427310n(3n1)n(n1)2,nN*

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

练1. 用数学归纳法证明:当n为整数时, 135(2n1)n2

11n2(n1)3(n2)n1n(n1)(n2)

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