阅读与思考 九连环名师教学设计1

《等差数列的前n项和》教学设计

鹿泉区第一中学 崔会丽

一、设计理念

让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．

二、背景分析

本节课教学内容是普通高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

三、学情分析

1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。

2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。

3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭

建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

四、教学目标

1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；

2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；

3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；

五、教学重点与难点

1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用

2、教学难点：公式推导的思路

六、教学过程设计

（一）探究等差数列前n项和公式

教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。

学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。

问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？

教师活动：指导学生快速找出规律。

学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？

活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，

所以原式=50×（1+101）=5050 问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？

教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。

学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。

活动预设：构造数列：a11,a22,a9999,a100100，则有性质：

等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq。

【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。

问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？

方法1：分类讨论法

教师活动：给出一般数列：设等差数列{an}前n项和为Sn，Sna1a2a3如何用有限的项表示Sn？

学生活动：类比高斯算法，分小组讨论并探求等差数列前n项和公式。

活动预设：以小组为单位投影学生推导过程，并让其对过程做出解释和说明。

an，则a1a2a3

an2an1an

其中a1ana2an1a3an2结果预测：（1）学生没有对n的奇偶进行讨论，不严密地得出答案；

（2）学生对n的奇偶进行讨论，但对于n是奇数时的推导遇到障碍。

问题4：利用等差数列性质：若mnpq，则amanapa。得出：qa1aa1na2na3na2?，究竟一共有多少个a1an？

教师活动：提出问题，引导学生讨论，并抽小组成员发表本组观点。

学生活动：再次以小组为单位以n的奇偶为标准对前n项和公式进行求解。

活动预设：

（1）当n为偶数时：

Sna1a2Snan nn(a1an)共有 对a1an 22n1对a1an，还有一项。

2

（2）当n为奇数时：有

问题5：an1落单了，如何处理an1使得我们公式能够统一形式？

22教师活动：提示学生观察an1的脚标与(a1an)脚标的关系。

2学生活动：以小组为单位讨论an1的处理办法。

2活动预设：不难发现，an1的脚标与(a1an)脚标满足如下关系：

2从而得到：无论n取偶数还是奇数，都有Snn(a1an)。

2【设计意图】（1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发现需要对n的奇偶进行讨论，顺应学生思路，自然过渡，学生容易联想，也充分体现了新课改中尊重学生主体性的原则；

（2）引导学生发现中间项an1的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列实际上2就是对脚标数的研究。

方法2：倒序相加法

问题6：对n的奇偶讨论过于复杂，能否回避对n的讨论呢？

教师活动：由此引入倒序相加法：

Sna1a2a3an2an1ana3a2a1

Snanan1an22Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(an2a3)(an1a2)(ana1)由性质“若mnpq，则amanapaq”可得：

2Snn(a1an)Snn(a1an)（等差数列前n项和公式）

2【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；

（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；

(二) 公式理解和深化

公式一、Snn(a1an)

2

问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？

教师活动：引导学生找出变量

学生活动：观察公式，找出变量。

活动预设：此公式中，共有四个变量：Sn,n,a1,an，可知三求一。

【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。

问题2：此公式还可进行怎样的变形？

教师活动：引导学生从an下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。

学生活动：尝试对公式进行变形。

n(n1)d

活动预设：公式二、Snna12【设计意图】

让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；

问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？

教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。

学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。

活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：a1,n,d,an,Sn，可知三求二

（2）若已知an，优先选用公式一，若已知d，优先选用公式二。

【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。

(三) 公式应用、反馈评价

例1. 根据下列条件，求相应等差数列 {n }的前n项和Sn

a1.a14,a818,n8;2.a19,d2,n6.

例2，已知一个等差数列的前10项和是310，

前20项和是1220.由这些条件能

确定这个等差数列的前n项和的公式吗

？

教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。

【设计意图】透过此题，培养学生

熟练地选取恰当的公式进行求解。

当堂训练

1 a120,an54,Sn999,求d及n;2 d2,n15,an10,求a1及Sn.教师活动：引导学生利用通项性质求和。

学生活动：方程思想处理数列中知三求二的问题。

【设计意图】让学生理解前n项和公式的Sn另一变形：再次对通项性质进行巩固。

六、布置作业

1.课本P46习题2.3，第1题（1）（3）

七、板书设计

一、等差数列前n项和：

2.3等差数列前n项和

Sna1a2an

四、课堂练习

（副板书）

二、公式的推导

方法一：分类讨论法

方法二：倒序相加法

三、深化公式

公式1、

公式2、

变形：

（主板书）

（辅助性板书）

八、教学反思

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突

破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．