小结优质课一等奖教案

章末检测(三)

不等式

时间：120分钟

满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式(x＋3)2<1的解集是(

) A．{x|x>－2}

C．{x|－4

B．{x|x<－4} D．{x|－4≤x≤－2} 解析：原不等式可化为x2＋6x＋8<0，解得－4b，则下列不等式一定成立的是(

) A．a＋c≥b＋c

c2C.>0

a－b解析：∵a>b，∴a－b>0，c2≥0 c2∴≥0. a－b答案：D 3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(

) A．M>N

C．M

B．M

≥N

D．M≤N

B．ac>bc

c2D.≥0 a－b解析：因为M－N＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N，故选A. 答案：A 4．已知关于x的不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为{x|－7

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：因为不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为{x|－7

所以－7，－1是方程mx2＋8mx＋28＝0的两个根，且m>0，

所以28－7×－1＝，m答案：D 8m－7－1＝－，m

∴m＝4. 145．设x，y为正数，则(x＋y)x＋y的最小值为(

) A．6

C．12

B．9 D．15

14y4x＋＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x等号成立，选B. 解析：x，y为正数，(x＋y)xyxy答案：B x≥0，6．若x，y满足约束条件x＋2y≥3，则z＝x－y的最小值是(

) 2x＋y≤3，A．－3

3C.

2B．0 D．3

解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0，3)处取得最小值，∴z最小值＝－3.

答案：A －2x－3>10，7．不等式组2的解集为(

) x＋7x＋12≤0

A．[－4，－3]

C．[－3，－2]

－2x－3>10x－3<－5解析：2⇒

x＋7x＋12≤0x＋3x＋4≤0x<－2⇒⇒－4≤x≤－3. －4≤x≤－3B．[－4，－2] D．∅

答案：A 8．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有(

) 1A．最小值和最大值1 23B．最小值和最大值1 413C．最小值和最大值

24D．最小值1 x＋y2113解析：∵xy≤＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2≥.24242222

3∴x2y2≥0，∴≤1－x2y2≤1. 4答案：B 9．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是(

) A．a≤－4

C．a≥－12

B．a≥－4 D．a≤－12 解析：令y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)，则y＝2x2－8x－4在x＝4时取得最大值－4，∴当a≤－4时，2x2－8x－4≥a在1≤x≤4内有解．

答案：A 10．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(

) A．6

C．26

解析：∵a，b是实数，

∴2a>0,2b>0，

3＋于是2a＋2b≥22a·2b＝22ab＝223＝42，当且仅当a＝b＝时取得最小值42. 2答案：B 11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

黄瓜

韭菜

年产量/亩

4吨

6吨

年种植成本/亩

1.2万元

0.9万元

每吨售价

0.55万元

0.3万元

B．42 D．8 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(

) A．50,0

C．20,30

B．30,20 D．0,50 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y. x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，线性约束条件为x≥0，y≥0，

x＋y≤50，4x＋3y≤180，即x≥0，y≥0

作出不等式组

x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.

表示的可行域如图，易求得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．

平移直线x＋0.9y＝0，可知当直线经过点B(30,20)，即x＝30，y＝20时，z取得最大值，且zmax＝48.故选B. 答案：B 2x－y－6≤0，x－y＋2≥0，12．设变量x，y满足约束条件x>0，y>0，51值为40，则＋的最小值为(

) ab25A.

6C．1

9B.

4D．4

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大解析：作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点)．

a1aa由z＝ax＋by得y＝－x＋z.因为a>0，b>0，所以－<0，作直线l0：y＝－x并向上平移，bbbb2x－y－6＝0，数形结合知，当l0平移至过点A时z取得最大值．由得点A的坐标为(8,10)，

x－y＋2＝0

51ab55ba5ab即zmax＝8a＋10b＝40，得＋＝1，于是a＋b5＋4＝4＋4a＋5b≥4＋25419＝44当且仅当5b＝a时取“＝”. 4a5b519＋min＝. ∴ab4

答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 413．函数y＝2－x－(x>0)的值域为________．

x4x＋≤2－2解析：当x>0时，y＝2－x4当且仅当x＝，x＝2时取等号．

x答案：(－∞，－2] x＋114．不等式≤3的解集为________．

xx＋1x＋1－3x解析：≤3⇔≤0，

xx2x－1即≥0，

x1∴x＜0或x≥. 21答案：(－∞，0)∪[，＋∞) 215．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．

解析：方程x2－ax－b＝0的根为2,3. 根据韦达定理得：a＝5，b＝－6，

11－，－. 所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为3211－，－

答案：32x＋2y≤10，2x＋y≥3，16. 设D是不等式组0≤x≤4，y≥110的距离的最大值是________．

解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝42. 4x×＝－2. x

表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝

答案：42

三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．

解析：设g(x)＝x2＋2x. 因为f(x)>0，所以x2＋2x>a2－2a. 只要使g(x)在[1，＋∞)上的最小值大于a2－2a即可．

因为g(x)＝x2＋2x在[1，＋∞)上单调递增，

所以g(x)min＝g(1)＝3. 所以a2－2a<3，解此一元二次不等式，得－1

118．(12分)已知f(x)＝x2－(a＋)x＋1，

a1(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；

2(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0. 15解析：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，

221∴(x－)(x－2)≤0，

21∴不等式的解集为{x|≤x≤2}．

21(2)∵不等式f(x)＝(x－)(x－a)≤0，

a1当0＜a＜1时，有＞a，

a1不等式的解集为{x|a≤x≤}；

a11当a＞1时，有＜a，不等式的解集为{x|≤x≤a}；

aa当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．

19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？

解析：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得

x＋y≤2，240x＋80y≤400，x≥0，y≥0.

x＋y≤2，即3x＋y≤5，x≥0，y≥0，

画出可行域如图阴影部分所示．

而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y

＝960x＋420y(目标函数)，

x＋y＝2，可联立得交点B(1.5,0.5)．

3x＋y＝5，

故当x＝1.5，y＝0.5时，

P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，

即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．

20．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．

(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；

(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．

解析：(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0. －3×－2＝6，2由根与系数的关系得解得k＝－. 25－3＋－2＝k，(2)因为不等式的解集为R，

k<0，所以

6k<0，Δ＝4－4k·

k<0，即66

k>或k<－.66所以k<－6. 6

即k的取值范围是－∞，－6. 6

21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．

(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获利？

(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；

②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．

问哪种方案最合算？为什么？

解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f(n)＝50n－12n＋nn－1×4－72＝－2n2＋40n－72. 2(1)获利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，

解得2

36fnn＋≤16. (2)①年平均利润＝＝40－2nn当且仅当n＝6时取等号，

故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6. ②f(n)＝－2(n－10)2＋128. 当n＝10时，f(n)max＝128. 故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．

故比较两种方案，获利都是144万美元．

但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．

22．(13分)设函数f(x)＝x＋a，x∈[0，＋∞)．

x＋1(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

(2)当0

a解析：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋，

x＋122得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，

x＋1x＋1∵x∈[0，＋∞)，

2∴x＋1>0，>0，

x＋12∴x＋1＋≥22. x＋1

2当且仅当x＋1＝，即x＝2－1时，f(x)取最小值．

x＋1此时，f(x)min＝22－1. (2)当0

x＋1a则当且仅当x＋1＝时取等号，此时x＝a－1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．

a－1. x＋1x＋1设x1>x2≥0，则

f(x1)－f(xa2)＝x1＋x－xa1＋12－x2＋1

＝(x1－a1－x2)x1＋1x2＋1，

∵x1>x2≥0，

∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1. ∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)min＝f(0)＝a.