2.2.1 综合法和分析法教学评价实录

第 7周 月16日—— 4 月20日

第 3课时

授课人

授课时间

周三

赵素洁

课

型

§2.2.1直接证明--综合法与分析法

新课

课

题

主备人

教学目标

（学习目

标）

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；

教学重点

分析法和综合法的思考过程；

[来源:学.科.网]教材分析

教学难点

分析法和综合法的思考过程、特点．

分析法和综合法的思考过程、特点．

疑难预设

模式与方法

[来源:Zxxk.Com]自学指导，讲练结合

教 学 内 容[来源:学科网]

师生活动及时间分配

个案补充

引入复教

学

[来源:学习

例题流

讲科网]

【教师引入】

合情推理分归纳推理和类比推理，

所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性

必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习老师讲解

两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念

探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些

数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要

的结论。例如：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何

证明，引导学生应用不等式证明。教师

（一）、情景引入，激发兴趣。

学生活动：最后归结证明方法。

充分讨论，思证明:因为b2c22bc,a0，

程

解

考，找出以上问所以a(b2c2)2abc。

题的证明方法

因为c2a22ac,b0，

22所以b(ca)2abc。

因此

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理

等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的

结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论

Q 出发，反推回去，寻求保证

Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……

直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

abab

（a>0，b>0）例如：基本不等式

2的证明就用了上述方法。

要证

abab，

2只需证

ab2ab，

只需证

ab2ab0，

只需证

(ab)20

由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

分析法可表示为：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的特点是：执果索因

（四）、知识应用，深化理解

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,

a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将

A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个

隐含条件，明确表示出来是A + B

+ C =；

a , b，c

成等比数列，转化为符号语言就是b2ac．此时，如

果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和

边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正

好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由

A, B,

C成等差数列，有

2B=A

+ C ．

①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以

A + B 注：解决数学问+ C=．

②

由①②

，得

题时，往往要先

作语言的转换，B=．

③

如把文字语言3由a, b，c成等比数列，有

b2ac．

④

转换成符号语言，或把符号语由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac．

言转换成图形语言等．还要通再由④，得

a2c2acac．

过细致的分析，即

(ac)20，

把其中的隐含因此

ac．

条件明确表示从而

A=C．

出来．

由②③⑤，得

A=B=C=．

3

所以△ABC为等边三角形．

练习、求证3725。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因

此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条

件。

证明：因为37和25都是正数，所以为了证

明

3725，

只需明

22(37)(25)，

展开得

1022120，

只需证

215，

因为2125成立，所以

(37)2(25)2

鸡西市第十九中学

数

学科电子教案

教 学 内 容

师生活动及时间分配

个案补充

五、课堂小结：

学生总结，教师补充

作业：练习册

教

学

流

程

不足

课后反思

收获