2.2.2 反证法教学评价实录

2.2 直接证明与间接证明2 一、教学目标：

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题. 过程与方法：

通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用. 让学生探索、发现数学知识，掌握数学知识，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：了解反证法的思考过程与特点.. 难点：正确理解、运用反证法. 三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

四、教学过程

（一）复习回顾

（1）

直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，

直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）

间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

(二)探究新知

多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象. 提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：

同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的. 你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？

【学生自主合作探究】

学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：

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1、什么是反证法？

2、反证法的证题步骤有哪几步？

3、什么样的命题适合用反证法来证明？

4、反证法的应用关键在于什么？

【学生展示、交流】

（1）反证法概念

反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：

a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；

b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

（3）应用反证法的情形：

①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”

---类命题；

④结论为

“唯一”类命题；

（4）关键在于归缪矛盾：

a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。

【教师归纳评价并强调】：

同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。

（三）典例解析

例1、已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a. 证明：

假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。

因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则

2a2(2m1)24m24m12(2m22m)1，即a2是奇数。

所以，2不能整除a。这与已知“2能整除a”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a. 22

2

例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，

0PMQ0如图所示，则。

这样△MPQ的内角和PMQMPQPQM

PMQ9090180。

这与定理“三角形的内角和等于180”相矛盾，这说明假设是错误的。

所以直线a与b不相交，即a与b平行。

例3、求证：2是无理数。

0000

反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

(四)练习

B一定是锐角。1、证明：在ABC中，若C是直角，则

3是无理数。2、求证：

3、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？

分析:假设C没有撒谎, 则C话为真

那么A话为假且B话为假;

由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.

那么假设C没有撒谎不成立;

则C必定是在撒谎. 五、小结

同学们，本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明了吗？

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请同学们课后积极思考与实践. 六、作业

1.课时检测

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