1.3 二项式定理（通用）ppt配用优秀教学设计

1.3.1 二项式定理

第一课时

一、教学目标

掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。

二、教学重点与难点

三、教学过程: 【设置情境】

问题：某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。

试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？

分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×（1＋11％×10）＝21（万元）

本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10(19%)10

那么如何计算(19%)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(ab)n的展开式。

【探索研究】

2122由

(ab)2a22abb2C02aC2abC2b

0322233(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C3a+C13ab+C3ab+C3b

那么(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)

展开后，它的各项是什么呢？

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：

a,ab,ab,ab,b

现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？

在上面4个括号中：

每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a的系数是C4；

11恰有1个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

22恰有2个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

2234432234040恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

4个都取b的情况下有C4种，所以b的系数是C4；

因此

(ab)C4aC4abC4abC4abC4b。

请同学们归纳、猜想(ab)?

一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

n1n1n22nrrn(ab)nC0bC2bCrbCnnaCnanananbn404132223344443334(nN.)

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这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。

二项展开式有以下特征：

（1）共有n1项。

（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。

每一项里a、b的指数和均为n。

【举例应用】：利用二项式定理可以求二项展开式。

例1

展开(1)。

解：(1)1C4()C4()C4()C4()1例2

展开(2x1x41x411x21x231x341x44641234。

xxxx16)。

x162x161)()3(2x1)6

xxx解：先将原式化简，再展开

(2x161524334256(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C666666

3x13(64x6192x5240x4160x360x212x1)

x6012164x3192x2240x16023)。

xxx例3

用二次式定理证明：

（1）111能被100整除；

（2）nn1101能被(n1)2整除。（n3,nN）

109289证明：（1）∵111(101)101(1010C1)1

1010C1010C1010192827261010C1(108C1)

1010C1010101001010C10101∴111能被100整除。

（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。

∵nn11(n1)1n1101

2(n1)n1C1)n2C2)n3Cn)11

n1(n1n1(n1n1(n1(n1)n1C1)n2C2)n3C1)

n1(n1n1(n1n1(n1(n1)2(n1)n3C1)n41

n1(n1n4而n3,nN

∴(n1)n3C11是正整数。

n1(n1)故nn11能被(n1)2整除。

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【演练反馈】

1．计算：(a1)5(a1)5。

解：(a1)5(a1)5

1231234(a)5C5(a)4C5(a)2C5a1(a)5C5(a)4C5(a)3C5(a)2C5a1

24322C15(a)C5(a)2

10a20a4。

2n222n4n12n2．求证：32nC1。

3C3C3110nnn2(n1)2(n2)12证明：右边10n(91)n(321)n32nC1C2Cnn3n3n31

2n22n41232nC1C2Cnn3n3n31左边

故原式得证。

3．解决本节课开始提出的问题。

22解：10(19%)1010(10.09)1010(1C10.09C0.09)22.645

1010由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。

【总结提炼】

1、二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。

2、利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。

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