小结教学设计实例

3.4基本不等式（第一课时）

一、教学目标

1．知识与技能：学会推导基本不等式abab,会应用不等式解决实际问2题。引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．过程与方法：通过例题的研究，进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力.并会用定理求最大最小值；

3．情感态度与价值观：结合课本的探究图形，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度. 二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab

的证明过程；

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式，利用此不等式求最值．

三、学情分析

学生初中已经接触过不等式，前面几节课讲过了不等式的基本性质和简单的线性规划问题，学生对不等式已经有了一定的基础. 四、教学方法与资源

方法：启发诱导、学生探索、讲练结合；

资源：多媒体课件、投影、几何画板.

五、教学过程：

1．问题情境

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

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2．问题探究

思考1：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形的边长为a2b2．于是，4个直角三角形的面积之和S12ab，

正方形的面积S2a2b2．由图可知S2S1，即a2b22ab．

问：什么时候取等？a,b的范围是什么？a,b可以是代数表达式吗？并请学生举例说明. 思考2：如果当a0,b0,

用a,b

去替换a2b22ab

中的a,b

能得到什么结论？

ababa,bR

2

思考3：能否利用不等式的性质证明上面两个不等式？

证法一（作差法）：

a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

证法二（分析法）：由于a,bR，于是

要证明

abab，

2只要证明

ab2ab，

即证

ab2ab0，

即

(ab)20，该式显然成立，所以得出结论，展示课题内容

基本不等式: 若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2abab，当ab时取等号．

2

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若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

深化认识：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数

2ab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．

D A B E 根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有abab

2O C 当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．故而再次证明：

当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

4．知识应用

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

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例2.求yx(x0)的值域．

变式1.

若x2，求x1的最小值．

x21x1x在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．

并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条2件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：

1.已知x0,y0，且2x81，求xy的最小值．

y2.设x,yR，且xy2，求3x3y的最小值．

5．总结提升

基本不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

6．谈收获

让学生自由发挥，谈这一节课学到的收获.

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