小结名师教学设计1

7.4基本不等式

考情分析

基本不等式的应用是高考考查的重点，包括利用基本不等式解决函数的最大（小）值问题和简单的证明问题，基本不等式在高考中，还会与几何、函数、数列、倒数、三角等知识相结合。其作用在于求最值，往往在解答题中体现的较多。

基础知识

1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

a

＋b2.定理：如果a，b是正数，那么

2

≥ab

（当且仅当a＝b时取“＝”号）

a2b2ab23、常用不等关系：ab≤，

ab()

22注意事项1.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如22a＋ba＋ba＋b2(a，a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤2；2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤2b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

a2＋b2a＋b2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；

2.(1)2≥2(2) a2＋b2a＋b2≥≥ab≥2211(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．

a＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

3(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

题型一

利用基本不等式求最值

【例1】若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(

) A. 12

B. 23 C. 32

D. 6

【变式1】

(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋

2(2)已知0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________．

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

题型二

利用基本不等式证明不等式

【例2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

11111(1)a＋b＋ab≥8；

(2)(1＋a)(1＋b)≥9.

【变式2】

已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9.

题型三

利用基本不等式解决恒成立问题

x【例3】若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x＋3x＋1

【变式3】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

重难点突破

12【例5】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求＋的最小值．

ab1的最小值为________．

x－1

巩固提高

11. 已知m＝a＋(a>2)，

n＝4-x2(x<0)，则m，n之间的大小关系是(

) a－2A. m>n

B. m

C. m＝n

D. m≤n

2.若0

) 1132A. 3

B. 2 C. 4

D. 3

x2＋2x＋23. 函数y＝(x>－1)的图象最低点的坐标为(

) x＋1

A. (1,2)

B. (1，－2)

C. (1,1)

14. 已知f(x)＝x＋x－2(x<0)，则f(x)有(

) A. 最大值为0

C. 最大值为－4

B. 最小值为0 D. 最小值为－4 D. (0,2) ab5. 已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(x＋y)>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(

) A. [4，＋∞)

C. (－∞，4]

B. (－∞，1] D. (－∞，4)