2.基本不等式教学实录及点评

芜湖市六洲中学教学设计模板

科目 学校

数学

芜湖市六洲中学

过程方法

教学

目标

知识技能

情感态度

基本不等式以及基本不等式推导出的几个重要不等式及其应用。

通过复习，引导学生用变化和联系的观点看待基本不等式，培养学生的转化与化归的思想。

班级

高二（4）

课型

复习课

课题：利用基本不等式求最值

通过复习，理解了解基本不等式成立的条件，掌握由基本不等式变形得到的几个重要不等式，并会灵活运用基本不等式求最值。

授课人

夏旭东

教学重点

基本不等式以及基本不等式推导出的几个重要不等式的应用。

教学难点

理解了解基本不等式成立的条件，并会灵活运用基本不等式求最值。

教法学法

启发式教学

教学准备

多媒体辅助教学

教 学 过 程 设 计

教学内容

师生活动

设计意图

环节一 知识回顾：

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

通过提出问通过学生回题、引导学生答，了解学生回忆

的掌握情况

ba

＋≥2，ab>0；ab当且仅当a＝b时

a＋b2，a，b∈R；等号成立.

ab≤2探究由基本22a＋ba＋b2不等式推导≥，a，b∈R22得出的几个重要不等式3．算术平均数与几何平均数

的性质

a＋b

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为2

ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的

几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值

是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值

p2是.(简记：和定积最大)

4

[基本能力]

1．判断题

1(1)函数y＝x＋的最小值是2. (

)

x

π4(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈0，的最小值等于4.(

)

2cos x

xy

(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件． (

) yx

13(4)若a>0，则a＋2的最小值为2a.

a

2．填空题

(1)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．

答案：81 22

(2)若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小值为________．

a2＋b2≥2ab，a，b∈R；

学生通过自己的探究、分析、归纳、总结所得出的结论，会加深对知识的理解

解析：x＋2y＝x＋(2y)≥2x(2y)＝22，

所以x＋2y的最小值为22. 环节二 例题讲解：

通过拼凑法利用基本不等式求最值

利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

[例1] (1)(2018·泉州检测)已知0

讲解通过拼凑法利用基本不等式求最值

例题讲解

1132A. B. C. D.

3243

1

(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于 x－2

(

)

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

x＋－x2

[解析] (1)∵0

3

＝. 4

1当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

2

(2)∵x>2，∴x－2>0，

111

∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·x－x－2x－2x－2

＋2＝2＋2＝4，

12

当且仅当x－2＝，即(x－2)＝1时等号成立，

x－2

解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，

即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C.

[答案] (1)B (2)C

[方法技巧]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关

键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等归纳

时x的值为(

)

式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

通过常数代换法利用基本不等式求最值

[例2] (1)(2018·湖南衡阳四校联考)设x，y为正实数，且x11＋2y＝1，则＋的最小值为 (

) xyA．2＋22 B．3＋22 C．2 D．3 19π(2)(2018·大庆质检)若θ∈0，，则y＝2＋2的2sinθcosθ取值范围为 (

) A．[6，＋∞) B．[10，＋∞)

C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)

11[解析] (1)因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，所以＋＝(xxy2yx11＋2y)·＋＝3＋＋≥3＋2 xyxy2yx·＝3＋22，当且仅当xxy11＝2y＝2－1时取等号，所以＋的最小值为3＋22.故选B. xy1π22(2)∵θ∈0，，∴sinθ，cosθ∈(0,1)，∴y＝＋22sinθ22199cosθ9sinθ22＋2(sinθ＋cosθ)＝10＋＝＋2222cosθsinθcosθsinθcosθ≥10＋2 θ＝cosθ9sinθcosθ9sinθ·＝16，当且仅当＝，即2222sinθcosθsinθcosθ2222π19时等号成立，∴y＝＋的取值范围为[16，＋226sinθcosθ∞)．故选D. [答案] (1)B (2)D [方法技巧] 常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

例题讲解

总结通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

讲解通过常数代换法利用基本不等式求最值

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

通过消元法利用基本不等式求最值

[例3] (2018·山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lg x|，

归纳

例题讲解

总结常数代换法求最值的方法步骤

讲解通过消元法利用基本不等式求最值

总结通过消元法利用基本不等式求最值的方法

a2＋b2a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________．

a－b[解析]

由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a2＋b2a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，则＝aaa－b111a＋2a212122＋6＝a－＋≥22(当且仅当a－＝，即a＝1a1a12a－a－a－aaa时，等号成立)．

[答案] 22 [方法技巧] 通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

归纳

环节三 课堂练习：

91.已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，

x＋1

则a＋b＝(

)

A．－3 B．2 C．3 D．8

99解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞

x＋1x＋1

990，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2

x＋1x＋1

x＋992－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)＝x＋1x＋19，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案：C 2. (2018·廊坊一模)已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则为 (

) 9A．4 B．22 C. D．16 2解析：∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋4m5≥＋2 n212125n＋＝(2m＋n)＋＝＋4mn4mn24m12＋的最小值4mnn4m921·＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选4mn236C. 答案：C 3. (2018·山东日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则最大值为 (

) A．2－2 B．2＋2 C．4＋22 D．4－22 解析：

＝1＋＝1＋2yxx＋2y－x＝＋

x＋yx＋2yx＋yx＋2y＋－2y的x＋yx＋2y＋xxxxx＋yx＋2y2＝1＋xyx＋y1x＋2y，

xy＝1＋x＋3xy＋2y2xyyxx2y3＋＋yx因为xy>0，所以>0，>0. 由基本不等式可知＋x2y≥22，

yx当且仅当x＝2y时等号成立，

11所以1＋≤1＋＝4－22. x2y3＋223＋＋yx答案：D 针对训练

针对训练

针对训练

通过做题灵活应用本节所学知识点

教师点评，引导学生思考

4. (2018·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为 (

) A．5＋22 B．82 C．5 解析：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，

∴a＝ D．9 bb－2>0，解得b>2，即b－2>0，

2＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4 b－2b－22b－2则a＋2b＝≥5＋2 bb－＝9，

当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9. 答案：D 环节四 课堂小结：

1.在运用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——二定——三相等”，若忽略其中某个条件，就会出现错误；

ab2.对于公式ab2ab,ab,要弄清它们的作用和使2用条件以及内在联系，两个公式体现了ab,ab之间的转化关系；

3.运用公式时，要注意公式的正用，也要注意公式的逆用，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等。

2

归纳总结

学生演板，教师点评

引导学生对所学的知识进行小结，学生对学习过程进行反思

作业设计

《创新方案》课后对应部分达标检测

利用基本不等式求最值

1．基本不等式 例1. 板书设计

2．几个重要的不等式 例2. 3．算术平均数与几何平均数 例3. 4．利用基本不等式求最值问题