小结教学设计

§7.3

基本不等式及其应用

1.基本不等式ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). ba(2)＋≥2(a，b同号). ab(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R). a2＋b2a＋b2(4)≥22 (a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1(1)函数y＝x＋的最小值是2. x

(

×

) (

×

) a＋b2(2)ab≤()成立的条件是ab>0.

2

4π(3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.

cos x2xy(4)x>0且y>0是＋≥2的充要条件.

yx1(5)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.

a(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).

(

×

) (

×

) (

×

) (

√

) (

) 12.当x>1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是

x－1A.函数f(x)有最小值2 C.函数f(x)有最小值3 答案

C 3.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是

A.a2＋b2>2ab

112C.＋>

abab答案

D 解析

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误. 对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误. ba对于D，∵ab>0，∴＋≥2 abba·＝2. ab

B.a＋b≥2ab

baD.＋≥2 ab

B.函数f(x)有最大值2 D.函数f(x)有最大值3

(

) 114.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为 xyA.2

3B.

2C.1

1D.

2

(

) 答案

C 11解析

由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3bxy＝log3ab≤log3a＋b211＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则＋的最大值为1. xy21|a|＋取得最小值. 2|a|b5.(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，答案

－2 解析

由于a＋b＝2，所以|a|≥2 b1|a|a＋b|a|ab|a|b＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4|a|b|a|1|a|151|a|·＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的

最4|a|b2|a|b442|a|b

b|a|4|a|＝b，131|a|3小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2. 442|a|b4a<0，

题型一

利用基本不等式求最值

11例1

(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

xy2x(2)当x>0时，则f(x)＝2的最大值为________. x＋111思维启迪

利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把＋中的xy“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式. 答案

(1)3＋22

(2)1 解析

(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，

112x＋y2x＋y∴＋＝＋

xyxyy2xy2x＝3＋＋≥3＋22.当且仅当＝时，取等号. xyxy(2)∵x>0，∴f(x)＝2x22＝≤＝1，

12x＋1x＋x21当且仅当x＝，即x＝1时取等号. x思维升华

(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.

(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式. xy

(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)·(＋x)的最小值为________. yxxy＋(2)已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________. 34答案

(1)4

(2)3 xyy2x2解析

(1)依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2 yxxyxy时取等号，故(＋y)·(＋x)的最小值为4. yxy2x2×＝4，当且仅当x＝y＝1xy

xy(2)∵x>0，y>0且1＝＋≥234xyxy，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号. 1234题型二

不等式与函数的综合问题

例2

(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(

) A.(－∞，－1)

C.(－1,22－1)

B.(－∞，22－1) D.(－22－1,22－1) x2＋ax＋11(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围x＋1是________. 思维启迪

对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 8答案

(1)B

(2)[－，＋∞) 3解析

(1)由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，

222解得k＋1<3x＋x，而3x＋x≥22(当且仅当3x＝x，

333即x＝log32时，等号成立)，

∴k＋1<22，即k<22－1. x2＋ax＋118(2)对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3. xx＋1*817设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝. x3∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝1788.∴－(x＋)＋3≤－，

3x388∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞). 33思维升华

(1)a>f(x)恒成立⇔a>(f(x))max，

a

(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 1

若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，)成立，则a的最小值是

2A.0

B.－2

5C.－

2

D.－3 (

) 答案

C 解析

方法一

设f(x)＝x2＋ax＋1，

a则对称轴为x＝－. 2a1当－≥，即a≤－1时，

22

115f(x)在(0，)上是减函数，应有f()≥0⇒a≥－，

2225∴－≤a≤－1. 2a1当－≤0，即a≥0时，f(x)在(0，)上是增函数，

22应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0. a1当0<－<，即－1

22aa2a2a2应有f(－)＝－＋1＝1－≥0恒成立，

2424故－1

当x∈(0，)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋)恒成立. 2x11又φ(x)＝x＋在(0，)上是减函数，

x215∴φ(x)min＝φ()＝，

2215∴[－(x＋)]max＝－，

x25∴a≥－. 2题型三

基本不等式的实际应用

例3

某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

思维启迪

把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解. 解

设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0

对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.

(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，x则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准8备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

A.60件

B.80件

C.100件 D.120件

(

) (2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方p＋q案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________. 2答案

(1)B

(2)乙

解析

(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得

800xy＝＋≥2 x8800x·＝20. x8800x当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B. x8(2)设原价为1，则提价后的价格为

方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，

p＋q2方案乙：(1＋%)，

21＋p%1＋q%p＋q因为1＋p%1＋q%≤＋＝1＋%，

222p＋q且p>q>0，所以1＋p%1＋q%<1＋%，

2p＋q2即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋%)，

2所以提价多的方案是乙.

忽视基本不等式等号成立的条件致误

典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) 24A.

528B.

5C.5

D.6 3(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________. x易错分析

(1)对x＋3y运用基本不等式得xy的范围，再对3x＋4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；

3(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥26. x

13解析

(1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

5y5x13所以3x＋4y＝(3x＋4y)(＋) 5y5x943x12y13＝＋＋＋≥＋2 555y5x53x12y1312·＝＋＝5，

5y5x551当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5. 233(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 xx＝－6时取等号，故y有最小值1＋26. 23－2x·＝1＋26，当且仅当x－x答案

(1)C

(2)1＋26 温馨提醒

(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；

(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.

方法与技巧

1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，a＋b2a2＋b2a＋b例如：ab≤()≤，ab≤≤

222成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范

1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. a2＋b2(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式2

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 一、选择题

1.已知0

A.13

B.1

C.32

D.243

答案

B 解析

∵00. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x232＝4. 当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号. 2.若函数f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于

(

A.1＋2

B.1＋3 C.3

D.4 答案

C 解析

f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2. ∵x>2，∴x－2>0. ∴f(x)＝x－2＋1＋2≥x－2·1x－22 x－2＋2＝4，

当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，“＝”成立. 又f(x)在x＝a处取最小值.∴a＝3. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

B.v＝ab

C.ab

D.v＝a＋b2

答案

A 解析

设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为sa＋sb，

从而v＝2sss＝2aba＋b. a＋b(

) ) (

)

∵0＝a，

2a＋b2b

212ab∴<，即0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是

ab1A.

4

B.1

C.4

D.8

(

) 答案

C a＋b＝1解析

由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得a>0. b>011a＋b111故＋＝＝≥＝＝4. abababa＋b212221当且仅当a＝b＝时上式取“＝”.

25.(2012·福建)下列不等式一定成立的是

1x2＋>lg x(x>0) A.lg41B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC.x2＋1≥2|x|(x∈R) 1D.2>1(x∈R) x＋1答案

C x＋y＋解析

应用基本不等式：x，y∈R，≥xy(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意2基本不等式的应用条件及取等号的条件. 11当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，

421x2＋≥lg x(x>0)，故选项A不正确；

所以lg4运用基本不等式时需保证一正二定三相等，

而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；

由基本不等式可知，选项C正确；

1当x＝0时，有2＝1，故选项D不正确. x＋1

(

)

二、填空题

116.设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋2)(2＋4y2)的最小值为________. yx答案

9 111解析

(x2＋2)(2＋4y2)＝5＋22＋4x2y2≥5＋2yxxy成立. p7.已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数px－1的值为________. 9答案

4p解析

由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，x－19因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p＋1＝4，解得p＝. 48.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________. 答案

20 200200400解析

设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一xxx400年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2x400·x＝40，当且仅xxy14x2y2＝9，当且仅当22·1x2y2＝时“＝”2400当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购x买该种货物20吨. 三、解答题

29.(1)已知0

582(2)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值. xy1解

(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x). 52∵00，

55x＋2－5x2∴5x(2－5x)≤()＝1，

2111∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. 555

(2)∵x>0，y>0，且x＋y＝1，

8282∴＋＝(＋)(x＋y) xyxy8y2x＝10＋＋≥10＋2 xy8y2x·＝18，

xy8y2x21当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，

xy3382∴＋的最小值是18. xy10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 162解

(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米. x2×162总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162 x1 296×100100＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960 xx≥1 296×2 100x·＋12 960＝38 880(元)，

x100当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号. x∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. 0

x881g(x)在[，16]上是增函数，

881162∴当x＝时(此时＝16)，

8xg(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为

818001 296×(＋)＋12 960＝38 882(元). 881

81∴当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元. 8B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 1.已知a>0，b>0，若不等式A.4

B.16

m31－－≤0恒成立，则m的最大值为

3a＋babD.3

(

) C.9

答案

B m31313b3a解析

因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒abab3a＋bab成立. 3b3a因为＋≥2 ab3b3a·＝6，

ab3b3a当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，

ab所以m≤16，即m的最大值为16，故选B. xy2122.(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最zxyz大值为

A.0

D.3

(

) B.1

9C.

4答案

B 解析

由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*) xyxy1则＝2≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z2＝zx－3xy＋4yx4y＋－3yx12212111＝2y2，所以＋－＝＋－2＝－y－1＋1≤1. xyzyyy3.定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b为正实数，已知1]

. 答案

1 2解析

∵1]6ab)，∴ab≤. 3当且仅当2a＝3b，即a＝1时等号成立，

2所以当a＝1时，ab取最大值. 34.(1)若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值. x2＋7x＋10(2)求函数y＝(x>－1)的最小值. x＋1

解

(1)xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t2，

可得t2－22t－6≥0，注意到t>0，解得t≥32，

故xy的最小值为18. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，

t－12＋7t－1＋10∴y＝

t4＝t＋＋5≥2 t4t·＋5＝9. t4当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，

t∴ymin＝9. 5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游1人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|. t(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值. 解

(1)W(t)＝f(t)g(t) 1＝(4＋)(120－|t－20|) t＝140559＋－4t，

20

1≤t≤20，t

100≥401＋2t1004t·＝441(t＝5时取最小值). t140当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，

t2所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，

3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.