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课题: §3.4基本不等式ab第2课时

【教学目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式ab数的最值； ab

2ab；会应用基本不等式求某函2ab的使用条件，22．过程与方法：通过两个例题，进一步掌握基本不等式ab并会用此定理求函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度和道德。

【教学重点】

ab基本不等式ab的应用

2【教学难点】

ab利用基本不等式ab求最大值、最小值。

2【教学过程】

一、复习回顾

1．重要不等式：

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么注：（）abab(当且仅当ab时取""号).

2ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数2（）使用基本不等式的条件：一正二定三相等一正：a,b是正数

二定：

ab为定值或者ab为定值

三相等：当且仅当ab时等号成立。

公式的变形及成立的条件(1)a2b22ab(a,bR)ba(2)2（同号）abab2(3)ab()(a,bR)22aba2b2(4)ab(a,bR)2112

ab

当且仅当a=b时等号成立。

二、新课讲解

积定，和最小

若abp为定值，则当且仅当ab时，ab取得最小值2p

s2和定，积最大

若abs为定值，则当且仅当ab时，ab取得最大值4

例１、判断下列推理是否正确： £¨1£©Çóysinx222µÄî×Сֵ¡£

2sinx2¡ßsinx0£¬¡àsinx0£¬

ysin2x22222sinx2

22sinxsinx2µÄî×СֵÊÇ2¡£

sin2x¡àysinx

£¨2£©Èôxy2,x0,y0£¬

Ôòy2xyxyµÄî×СֵΪ8¡£

22y22xyx2y24x2y242xy8

¡ày2xyxyµÄî×СֵΪ8 22

问题：是否积或和为定值时，就一定可以求最值？使用基本不等式的条件：一正二定三相等。一定要注意验证等号成立的条件。

练习：下列函数中，最小值为的是A yx44(0x)

B ysinxxsinxC y4exex D ylog3xlogx3(0x1)

例2 (1)求证：当x0时，x16的最小值是8.x

（问题：当x为何值时，取最小值？）

16（2）求证：当x0时，x的最小值是8.x

证明：因为x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:(x)16(x)2(x)168

(x)当且仅当即x=-2时,等号成立。

总结：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号使其变正.

1（3）已知0x,求yx(12x)的最大值。（思考：如何构造定值？）

2

1的最小值及取得最小值时x的值。例3：已知x1,求x（构造积为定值）

x111.这样变形后,[思维切入] 若直接使用基本不等式,无法约掉x,而x1x1在用基本不等式即可得证. 解：x1,(x1)1112(x1)13x1(x1)

1时，即x2或x（舍去）时等号成立。0x1mcx的函数，可通过加减项的方法配凑成基本不等式技巧总结 形如yaxb的形式.

练习2：

f(x)1x(x1)的最小值。求2x12

4.已知xy1(x,yR),求41的最小值。例题xy

41

变式.已知xy3(x,yR),求的最小值。xy

当且仅当x1

414141xv14yx解：

()1()(5)xyxy33xy

xy14yx1

(52)93

3xy34yx当且仅当时，即x2,y1时等号成立。

xy

mn

技巧总结：已知axbyc(a,b,cR),求的最小值。(巧用1)xy

课堂练习3 511.已知x,则函数y4x2的最小值是 44x5512.已知x,则函数y4x2的最大值是 44x5213.若正数x，y满足x2y1,则的最小值是 xy

524..已知lgxlgy1,则的最小值是xy5.若正数x，y满足2x8yxy,则xy的最小值是 4思考：求f(x)x(43x)(0x)的最大值。（构造和为定值）

31思维切入：f(x)3x(43x)

3三、课堂小结：

1、基本不等式使用条件：一正二定三相等

2、构造积定或和定来求最值

3、凑定值的常用技巧。

四、课后作业：

1.若正数x，y满足2x8y-xy0，求（1）xy的最小值（2）xy的最小值2、已知正数a,b满足abab3,求ab的取值范围。